Задачи достижения нечетко определенной цели

Рассмотрим подход к решению задач выбора, в которых находит применение теория нечетких множеств. Основным предположением в данном подходе является допущение о том, что цели принятия решений и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в относительно простой форме.

Пусть Х- универсальное множество альтернатив, т.е. универсальная совокупность всевозможных выборов лица, принимающего решения. Нечеткой целью в X является нечеткое подмножество, которое будем обозначать G. Описывается нечеткая цель функцией принадлежности. Допустим, что X представляет собой числовую ось. Тогда нечеткой целью принятия решений может быть нечеткое множество типа «величина х должна быть примерно равна 5» или «желательно, чтобы величина х была значительно больше 10» и т.п. Будем полагать, что присутствующие в подобных описаниях нечеткие понятия вполне точно описаны функциями принадлежности соответствующих нечетких множеств.

Чем больше степень принадлежности альтернативы х нечеткому множеству целей, т.е. чем больше значение тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы х в качестве решения.

Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими подмножествами множества X. В приведенном примере, когда х элемент числовой оси, нечеткие ограничения могут иметь, например, такой вид «х не должно быть много боль­ше 30», «х должно быть не слишком большим» и т.п. Как и прежде, здесь полагается, что приведенные в качестве примера понятия описаны функциями принадлежности соответствующих нечетких множеств, которые будем обозначать

Более общей является постановка задачи, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества различных множеств. Пусть, как и выше, X - множество альтернатив и пусть задано однозначное отображение под элементами множества Y будем понимать оценки показателей качества или эффективности системы. Нечеткая цель при этом будет задаваться в виде нечеткого подмножества множества оценок Y, т.е. в виде функции .

Задача при этом сводится к прежней постановке, т.е. к случаю, когда цель - нечеткое подмножество X, с использованием следующего приема. Определим нечеткое множество альтернатив , обеспечивающих достижение заданной цели Это множество представляет собой прообраз нечеткого множества три отображении , т.е.

После этого исходная задача рассматривается как задача достижения нечеткой цели при заданных нечетких ограничениях.

Перейдем теперь к определению решения задачи достижения нечеткой цели. Грубо говоря, решить задачу, означает достичь цели и удовлетворить ограничениям, причем в данной нечеткой постановке следует говорить не просто о достижении цели, а о ее достижении с той или иной степенью, также следует учитывать и степень выполнения ограничений. В излагаемом подходе оба этих фактора учитываются следующим образом. Пусть некоторая альтернатива х обеспечивает достижение цели (или соответствует цели) со степенью , и удовлетворяет ограничениям (или является доступной) со степенью Тогда полагается, что степень принадлежности этой альтернативы решению задачи равна минимальному из этих чисел. Иными словами, альтернатива, допустимая со степенью, например 0,3, с той же степенью принадлежит нечеткому решению, несмотря на то, что она обеспечивает достижение цели со степенью, равной, например, 0,8.

Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решений имеет вид

При наличии нескольких целей и нескольких ограничений нечеткое решение описывается функцией принадлежности:

Если различные цели и ограничения отличаются по важности и заданы соответствующие коэффициенты относительной важности целей , и ограничений , то функция принадлежности решения задачи определяется выражением

Один из наиболее распространенных в литературе способов решения задач выбора при нечеткой исходной информации состоит в выборе альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, т.е. альтернативы, реализующей правило

Следует подчеркнуть, что техника, развиваемая в работах Л. Заде и его последователей, основывается на использовании функций принадлежности. Эти функции всегда являются гипотезами! Они дают субъективное представление исследователя об особенностях анализируемой операции, о характере ограничений и целей исследования. Это всего лишь новая форма утверждения гипотез, которая открывает и новые возможности.

В заключение данного параграфа следует отметить, что различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математические методы нечетких множеств совершенно не похожи на методы теории вероятностей. Они во многих отношениях проще вследствие того, что понятию вероятностной меры в теории вероятностей соответствует более простое понятие функции принадлежности в теории нечетких множеств. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней методами теории нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей.

Получение во всех этих моделях решений в нечеткой форме позволяет довести до сведения специалиста, принимающего решение, что если он согласен или вынужден довольствоваться нечеткой формулировкой проблемы и нечеткими сведениями о модели, то он должен быть удовлетворен и нечетким решением задачи.