Терминология теории нечетких множеств

В традиционной прикладной математике множество понимается как совокупность элементов (объектов), обладающих некоторым общим свойством. Например, множество чисел, не меньших заданного числа, множество векторов, сумма компонент каждого из которых не превосходит единицы, и т.п. Для любого элемента при этом рассматриваются лишь две возможности: либо этот элемент принадлежит данному множеству (т.е. обладает данным свойством), либо не принадлежит (т.е. не обладает данным свойством). Таким образом, в описании множества в обычном смысле должен содержаться четкий критерий, позволяющий судить о принадлежности или непринадлежности любого элемента данному множеству.

Понятие нечеткого множества - попытка математической формализации нечеткой информации с целью ее использования при построении математических моделей сложных систем. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа «элемент принадлежит данному множеству» теряют смысл, поскольку необходимо указать «насколько сильно» или с какой степенью рассматриваемый элемент принадлежит данному множеству.

Один из простейших способов математического описания нечеткого множества - характеризация степени принадлежности элемента множеству чисел, например, из интервала [0,1]. Пусть Х - некоторое множество элементов (в обычном смысле). Нечетким множеством С в X называется совокупность пар вида , где , а - функция, называемая функцией принадлежности нечеткого множества С, данная функция принимает значения из интервала [0,1]. Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству. Значение этой функции для конкретного х называется степенью принадлежности этого элемента нечеткому множеству С. Как видно из этого определения, нечеткое множество полностью описывается своей функцией принадлежности.

Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция

В соответствии с определением нечеткого множества обычное множество В можно также определить как совокупность пар вида . Таким образом, нечеткое множество представляет собой более широкое понятие, чем обычное множество, в том смысле, что функция принадлежности нечеткого множества может быть, вообще говоря, произвольной функцией или даже произвольным отображением.