Моделювання випадкових подій

ЛЕКЦіЯ № 1. ЗагальнІ принципи моделювання транспортних систем. Моделювання випадкових процесІв в транспортних системах. ВипадковІ числа І методи Їх одержання. Методи моделювання випадкових подІй.

Для ефективного управління транспортними системами необхідно знати, як вони будуть реагувати на кожний керуючий вплив (команду).

Експерименти на реальних станціях практично неможливі, а фізичні моделі або непридатні або дуже дорогі. Для дослідження ергатичних систем (в склад яких входять люди), до яких відноситься і транспорт, в основному використовуються математичні моделі.

Математична модель - це сукупність рівнянь і логічних умов, які описують усі елементи складної системи та їх взаємодії.

Аналітичні методи використовувати достатньо складно і тому використовується метод імітаційного моделювання.

Імітаційне моделювання - це чисельний метод проведення експериментів із математичними моделями складних систем на ЕОМ. Імітаційне моделювання відтворює поведінку системи на протязі якогось часу. В процесі моделювання реєструються події і величини, які нас цікавлять.

Роботу транспорту піддається дії великої кількості випадкових факторів, із-за чого його характеристики постійно змінюються (наприклад, об’єм завантаження чи відправлення). Ці характеристики системи не можна отримати на основі кількох дослідів, тому що вони будуть випадковими і не будуть відображати реальну картину. Характеристики отримують на основі статистичної обробки великої кількості зафіксованих результатів.

Для врахування впливу випадкових факторів необхідно вміти моделювати випадкові процеси.

Статистичне моделювання випадкових процесів.

Нехай дано перетин 2-х ліній.

Рис. 1. Перетин залізничних ліній

В процесі моделювання роботи може статися подія А₁ - перетин вільний. Подія А₂ - перетин зайнято. Якщо сталася подія А₂, то поїзд очікує t затр.

Час затримки буде непостійним, так як час зайняття перетину - випадкова величина.

В математичному моделюванні використовують:

- випадкові події, які можуть статися або не статися в процесі досліду;

- випадкові величини, які можуть прийняти те чи інше значення.

Для того, щоб відповісти на запитання, сталася випадкова подія або ні в якомусь досліді, потрібно використати деяку процедуру, яка повинна настати.

Для наукових досліджень ці процедури непридатні, тому в цих випадках використовуються випадкові числа (R), які рівномірно розподілено в інтервалі від 0 до 1: 0 £ R £ 1. Існують спеціальні таблиці випадкових чисел.

При використанні ЕОМ замість випадкових чисел використовують псевдовипадкові числа. Ці числа отримують на ЕОМ за допомогою спеціальних процедур (RND). При цьому кожне наступне число отримується із попереднього. Таким чином, вони не є випадковими, але ведуть себе як випадкові (результати статистичного аналізу цих чисел такі ж самі, як і у дійсно випадкових чисел).

Процедури, які дають послідовність псевдовипадкових чисел, називають датчиками ВЧ.

Вираз, який дозволяє отримати ВЧ:

n_{i +1} = l n_і mod m, (1.1)

де l - випадково підібране число (l =91);

n_і - попереднє псевдовипадкове число.

l n_і mod m - залишок від ділення l n_і на m.

За перше число n₀ береться будь-яке непарне число, яке не кратне 5.

Наприклад: n ₀= 5379; m =10⁴

n ₁ = 91×5379 mod 10⁴ = 489489 mod 10⁴ = 9489

n₂ = 91× 9489 mod 10⁴ = 863499 mod 10⁴ = 3499 і т.і.

Псевдовипадкове число r_i = n_i / m

r ₁ = 9489 / 10⁴ = 0,9489; r ₂ = 3499 / 10⁴ = 0,3499

Недолік псевдовипадкових в тому, що вони дають послідовність, яка повторюється. Тому необхідно брати якомога більше число m, для більшого періоду.

Метод отримання ВЧ, який було розглянуто вище, називається мультиплікативним.

Домовимось називати одиничним жеребом будь-який елементарний дослід, в якому вирішується одне з питань:

1- чи сталося подія А чи ні;

2- яка з подій А₁,А₂,...,А_n в даному досліді сталася;

3- яке значення в цьому досліді прийняла випадкова величина.

Моделювання випадкових подій.

1.1.1. Моделювання одиничних подій.

Для моделювання окремих подій необхідно проімітувати виконання досліду у якому випадкова подія A може настати із ймовірністю P (A). Моделювання може бути виконано графічним методом. Для цього необхідно попередньо побудувати одиничний відрізок, на якому треба відкласти ймовірність P (A). Для імітації окремого досліду потрібно з таблиці випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі [0, 1], вибрати чергове число R_i і відкладасти його на одиничному відрізку. Якщо випадкове число R_i попало на відрізок P (A), то вважаємо, що в цьому досліді подія А сталася, інакше вважаємо що подія не сталася.

Так, на рис. Ошибка! Источник ссылки не найден. у першому досліді (випадкове число R ₁) подія A сталася, а у другому (випадкове число R ₂) - ні.

Рис. 2. Моделювання окремої події графічним методом.

Моделювання може бути виконано і без рисунка аналітичним методом. Для цього потрібно вибрати чергове випадкове число і порівняти його із ймовірністю події. Якщо R_i < P (A), то вважаємо, що у цьому досліді подія А сталася, інакше вважаємо що подія не сталася.

1.1.2. Моделювання подій які утворюють повну групу несумісних подій.

Якщо в результаті досліду обов’язково повинна статися тільки одна подія із деякої множини подій A ₁, A ₂,…, A_n то вважають, що вони утворюють повну групу несумісних подій. Сума ймовірностей таких подій дорівнює одиниці:

P (A ₁) + P (A ₂) +,…,+ P (A_n)=1.

Для графічного моделювання подій, які утворюють повну групу необхідно поділити одиничний відрізок на n частин довжиною P (A ₁), P (A ₂),…, P (A_n). Для імітації окремого досліду необхідно з таблиці випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі [0, 1], вибирати чергове число R_i і відкласти його на одиничному відрізку. Вважаться, що в цьому досліді сталася подія A_i, якщо випадкове число попало на відрізок P (A_i).

Наприклад на рис. Ошибка! Источник ссылки не найден. сталася подія A ₃.

Рис. 3. Моделювання випадкових подій, які утворюють повну групу несумісних подій, графічним методом.

Аналітичний метод: із таблиці рівномірно розподілених випадкових чисел вибирається випадкове число R_i і порівнюється по черзі із сумами ймовірностей Р (А ₁), Р (А ₁)+ Р (А ₂), Р (А ₁)+ Р (А ₂)+...+ Р (А_{n -1}). Якщо R_i £ Р (А ₁), то сталася подія А ₁; інакше якщо R_i £ Р (А ₁)+ Р (А ₂), то сталася подія А ₂; інакше якщо R_i £ Р (А ₁)+ Р (А ₂)+...+ Р (А_{n -1}), то сталася подія А_{n -1}; інакше сталася подія А_n.