Способы вычисления степенных средних и показателей вариации

Степенные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая. Средние величины и показатели вариации вычисляются как на группированном, так и негруппированном в вариационные ряды исходном материале. Известны три основных способа вычисления обобщающих числовых характеристик: способ произведений, способ условной средней и способ сумм или кумулят. Каждый способ имеет свои конструктивные особенности, но любой из них приводит к одному и тому же конечному результату.

Чтобы раскрыть сущность каждого способа необходимо познакомиться с понятием статистических моментов, или моментов распределения.

Моментами распределения называют суммы отклонений вариант x_t от какого-либо числа А, возведённые в степень k и отнесённые к общему числу вариант п, составляющих данную совокупность. Иными словами, это величины, которые можно выразить в виде следующей общей формулы:

Х’ = ∑(x_i -A)^k / n

Если отклонения вариант вычисляются по отношению к нулевой точке, то моменты называют начальными (m); если от средней арифметической, то моменты называют центральными и обозначают греческой буквой μ (ми). Если же отклонения вариант находят от произвольно выбранного числа А, моменты называют условными (b). В зависимости от степени отклонений статистические моменты подразделяют на моменты первого, второго и больших порядков. Формулы для вычисления моментов первого, второго, третьего и четвёртого порядков может быть использована таблица 2.

Таблица 2.

Моменты распреде­ления	Начальные	Центральные	Условные
Первого порядка	m1 = ∑f (x-0) / n =   =∑ f x / n	μ1=∑f (x-x’) / n	b1=∑f (x-A) /n
Второго порядка	m2= ∑f (x-0)2 / n=   =∑f x2 /n	μ2=∑f (x-x’)2 / n	b2=∑f (x-A)2 /n
Третьего порядка	m3 = ∑f (x-0)3 / n=   =∑f x3 /n	μ3 =∑f (x-x’)3/ n	b3=∑f (x-A)3/n
Четвёртого порядка	m4 = ∑f (x-0)4 / n=   =∑f x4 /n	μ4 =∑f (x-x’)4/ n	b4=∑f (x-A)4/n

Центральные моменты ряда распределения связаны с условными моментами следующим образом:

μ1 = b1 – b1 = 0

μ2 = b2 – b1 ² = s²

μ3= b3– 3b1 b2 +2 b1³

μ4= b4– 4b2 b3 + 6 b1² b2 - 3 b1⁴

Эти формулы использую при вычислении обобщающих характеристик вариационного ряда. При замене в этих формулах обозначений условных моментов b i на начальные mi можно получить выражения для вычисления центральных моментов.

Основу способа произведения составляет нахождение отклонений вариант от средней величины, характеризующей данную статистическую совокупность. Каждое отклонение возводится в степень, затем эти степени отклонений суммируются. В простейшем виде эта операция записывается так:

N n

D = ∑ (x_i - x’)² = ∑ x_i² - (∑ x) ² / n

i=1 i=1

В совокупности варианты обычно повторяются, поэтому суммы отклонений вариант от средней должны умножаться на их веса или частоты, т. е. рассчитываться по взвешенным суммам квадратов отклонений (девиат):

K k

D = ∑ (x_i - x’)² = ∑ f_i x_i² - (∑f_i x) ² / n

i=1 i=1

Вычисление статистических характеристик способом произведений, особенно при наличии многозначных чисел, представляет собой трудоёмкий процесс. Гораздо легче рассчитать статистические характеристики упрощённым способом условной средней, называемым также способом условного нуля. Суть этого способа заключается в следующем.

Одну из вариант условно принимают за среднюю величину, обозначив её через А. Обычно в качестве условной средней, или нулевой точки отсчёта, берут варианту или класс с наибольшей частотой, хотя это и не обязательно: в качестве условной средней можно принять любую варианту (при наличии негруппированных данных) или любой класс вариационного ряда. Наметив величину А, остаётся найти поправку, которую необходимо прибавить или вычесть (смотря по знаку) от условной средней, чтобы получить значение средней арифметической х. Такой поправкой служит условный момент первого порядка:

b₁=∑ f_i (x_i -A) /n

Обозначив отклонения вариант от условной средней через а, получим

b₁=∑ f_i a /n

Отсюда формула для определения средней арифметической:

x’ = A + ∑ f_i a /n

Дисперсия, определяемая этим способом, равна разности между условным моментом второго и квадратом условного момента первого порядка, умноженной на величину n / (п - 1), которая называется поправкой Бесселя:

s_x² = (n / n -1) (b₂ - b₁)

В развёрнутом виде эта формула выглядит так:

s_x² = (1 / n -1) [ ∑ f_i a² - (∑ f_i a²) /n ] или

s_x² = (1 / n -1) [ (∑ f_i a² / n) - (∑ f_i a / n) ² ]

Вычисление вспомогательных величин можно значительно упростить, если отклонения классовых вариант от условной средней А относить к величине классового интервала, т.е. вместо а= (xi - А) брать a = (xi - А) / λ. Тогда во всех без исключения случаях (для равноинтервальных рядов) отклонения классовых вариант от условной средней А, где а = О, превращаются в ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и т. д., которые рассматриваются в сторону меньших, чем А, значений вариант с отрицательным, а в сторону больших, чем А, значений - с положительным знаком, при этом в формулы (1), (3) и (4) вносятся поправки на величину классового интервала:

x’ = A + λ (∑ f_i a /n)

s_x² = (λ² / n -1) [ ∑ f_i a² - ∑ f_i a /n ] или s_x² = (λ² n / n -1) [ ∑ f_i a² /n - (∑ f_i a /n) ² ]