(mv² / 2 ) / (k T). m1 (k) =(1 / n) * Sum ( Xi^۸ k), i = l,...,n

Нормальное распределение (этот термин был впервые использован Гальтоном в 1889 г.), также иногда называемое гауссовским - распределение вероятностей случайной величины X, характеризуемой плотностью вероятности. Возникает нормальное распределение, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль.

Нормальное распределение имеет вид куполообразной кривой, отражающей симметричное вероятностное распределение непрерывной случайной переменной. Распределение характеризуется средней величиной и стандартным отклонением вверх или вниз, в которое укладываются две трети всех наблюдений, а 95% наблюдений - в два стандартных отклонения вверх или вниз от средней величины.

В статистике это самый главный вид распределения случайных величин. Основная модель регрессионного анализа основывается на гипотезе нормального распределения аддитивной ошибки.

Известно, что независимо от того, как распределена случайная величина, среднее этой случайной величины распределено по нормальному закону и при увеличении выборки стремится к математическому ожиданию. Поэтому достаточно взять небольшую выборку равномерно распределенных случайных величин и вычислить среднее. Это среднее даст одну реализацию нормально распределенной случайной величины.

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Распределение многих статистик является нормальным или может быть получено из нормальных с помощью некоторых преобразований. Рассуждая философски, можно сказать, что нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и его положение может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы. Точная форма нормального распределения (характерная "колоколообразная кривая") определяется только двумя параметрами: средним и стандартным отклонением.

Итак, одним из наиболее встречающихся распределений является
нормальное распределение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогических условиях.

Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости. При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно
нормальному закону распределения и тем точнее, чем больше количество
величин суммируется.

Из теоремы Ляпунова следует, что ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию. Размеры разных изготовленных деталей несколько отличаются друг от друга. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки деталей; неоднородность обрабатываемого металла; неточность установки заготовки в станке; износ режущего материала; неточность установки заготовке в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформации узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой продукции. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если одна их этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения. Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Случайные величины.

В практической жизни часто приходится сталкиваться с различными величинами. Так, например, при покупке авиабилета нас интересуют величина его стоимости и продолжительность полета. Значения многих из встречающихся величин могут быть заранее известны. К таким величинам относятся: продолжительность земных суток в часах; процентное содержание компонентов; количество членов семьи. Значение других величин можно непосредственно найти из опыта или с помощью вычислений, получив предварительные данные с помощью изменений или пересчета, т.е. также из опыта. В результате повторения некоторых опытов можно всегда получать одно и то же значение определенной величины, а в результате других значение величины изменяется, причем результат каждого отдельного опыта невозможно предугадать заранее. Например, позвонив в справочное бюро, можно узнать стоимость авиабилета на выбранный рейс. В этом случае сообщенная конкретная стоимость билета является значением интересующей нас величины. Это значение неизменно, сколько бы раз мы ни звонили в справочное бюро. Если узнать количество билетов, имеющихся на данный момент в кассе на конкретный рейс, то каждый раз в общем случае будут получены различные ответы, причем неизвестно заранее - какие. В данном опыте значение величины меняется случайным образом от опыта к опыту. Величины, которые могут принять в результате опыта любое из возможных значений, неизвестно заранее - какое, заслуживают особого внимания и являются предметом дальнейшего изучения.

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. При многократном проведении опыта в неизменных условиях в общем случае будут получены различные значения случайной величины. Это обусловлено случайными обстоятельствами, которые практически невозможно предусмотреть.

Появление тех или иных значений случайной величины можно рассматривать как события, а различным событиям в общем случае, соответствуют различные вероятности. Поэтому возможные значения случайной величины отличаются между собой с вероятностной точки зрения. Перечисление всех возможных значений случайной величины не дает достаточно полного представления о ней. Кроме того, необходимо знать, как часто могут появляться те или иные ее значения в результате испытаний, проводящихся в одинаковых условиях, т.е. следует знать вероятности их появления.

При задании закона распределения непрерывной случайной величины перечень всех возможных значений и соответствующих вероятностей не может быть применен хотя бы потому, что множество ее возможных значений бесконечно и сплошь заполняет некоторый промежуток. В этом случае не представляется возможности перечислить все значения случайной величины и их вероятности в виде таблицы или отметить в системе координат. Кроме того каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обладает нулевой вероятностью.

Распределение Максвелла.

МАКСВЕЛЛ Джеймс Клерк (1831-1879), английский физик, создатель классической электродинамики, один из основоположников статистической физики, организатор и первый директор (с 1871) Кавендишской лаборатории. Развивая идеи М. Фарадея, создал теорию электромагнитного поля (уравнения Максвелла); ввел понятие о токе смещения, предсказал существование электромагнитных волн, выдвинул идею электромагнитной природы света. Исследовал вязкость, диффузию и теплопроводность газов. Показал, что кольца Сатурна состоят из отдельных тел. Труды по цветному зрению и колориметрии (диск Максвелла), оптике (эффект Максвелла), теории упругости (теорема Максвелла, диаграмма Максвелла — Кремоны), термодинамике, истории физики и др. Установил статистическое распределение, названное его именем.

Чрезвычайно велика роль Максвелла в разработке и становлении молекулярно-кинетической теории (современное название — статистическая механика). Максвелл первым высказал утверждение о статистическом характере законов природы. В 1866 им открыт первый статистический закон — закон распределения молекул по скоростям (Максвелла распределение).

Распределение Максвелла в классическом нерелятивистском случае гамильтониан системы допускает разделение зависимости по импульсам частиц и их координатам. Зависимость гамильтониана от импульсов носит универсальный характер и, следовательно, распределение по импульсам будет также универсально. Каждое трехмерное распределение может быть также представлено в виде произведения одномерных распределений. Константа может быть найдена из условия нормировки.

Максвелл, исходя из предположения о независимости распределения проекций скорости от ее направления, получил вид функции F(v), названной функцией распределения Максвелла. Вид функции Максвелла зависит от температуры и от массы молекул. Заметим, что показатель экспоненты равен отношению кинетической энергии молекулы к тепловой энергии:

(mv² / 2) / (k T)

Таким образом, чем выше температура, тем более вероятным становится рост числа молекул с большими скоростями, чем больше масса молекулы, тем при большей температуре с соответствующей вероятностью молекула достигает заданной скорости.

Площадь под кривой равна вероятности того, что скорость молекулы при данной температуре имеет произвольное значение от нуля до бесконечности равна 1. Зная выражение для функции Максвелла, можно найти наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичные скорости.

Действительная область применимости распределения Максвелла (и тесно связанных с ним распределений Больцмана и Гиббса) неизмеримо широка.

Распределение Шарлье

ШАРЛЬЕ Карл Вильгельм Людвиг (1862-1934) — шведский астроном. Основные работы посвящены вопросам небесной механики и звездной астрономии. В 1908 он опубликовал новую теорию строения Вселенной; в окончательном виде она была изложена Шарлье в 1922. Согласно этой теории, Вселенная представляет собой бесконечную совокупность входящих друг в друга систем все возрастающего порядка сложности: отдельные звезды образуют галактику первого порядка, совокупность галактик первого порядка образует галактику второго порядка (Метагалактику), средняя плотность которой уменьшается с ростом масштаба, что позволяет избежать гравитационного и фотометрического парадоксов. Совокупность галактик второго порядка образует галактику третьего порядка и т.д. до бесконечности.

На основании такого представления о строении Вселенной Шарлье пришел к выводу о том, что в бесконечной Вселенной фотометрический и гравитационный парадоксы устраняются, если расстояния между равноправными системами достаточно велики по сравнению с их размерами, что приводит к непрерывному уменьшению средней плотности космической материи по мере перехода к системам более высокого порядка.

В изучении строения вселенной Карл Шарлье применил методы математической статистики. Кривая Шарлье – нормальное распределение, скорректированное на показатели асимметрии и эксцесса.

Асимметрия - отношение третьего выборочного момента ко второму выборочному моменту, взятому в степени 3/2.

Эксцесс - отношение четвертого выборочного момента к квадрату второго выборочного момента.

Момент k- порядка (k-ый момент):

m(k) = Е (X ^۸ k), X ^۸ k - X в степени k Выборочный момент:

m1 (k) =(1 / n) * Sum (Xi ^۸ k), i = l,...,n

Частоты распределения Шарлье рассчитываются по формуле:

m' = Nh/sigma * fi(t) * [1 + rЗ/6 * (t ^۸ 3-3t) + Ex / 24 * (t ^۸ 4 - 6t ^۸ 2 +3) ]

где N - общее число единиц совокупности

h - величина интервала

rЗ = мю З / sigma^۸ 3- нормированный момент третьего порядка, выступающий в качестве показателя асимметрии ряда

Ex=мю 4 / sigma ^۸ 4-3 - показатель эксцесса

t = (х-х сред.) / sigma - нормированные отклонения, по которым определяется fi(t); х среднее - среднее значение по не сгруппированной выборке

fi(t) - функция плотности нормального распределения ("фи от тэ").

Контрольные вопросы к теме: «Законы распределения».

1. Как возникает нормальное распределение и какой вид оно имеет?

2. Что такое случайные величины?

3. Какую роль имеет статистическое распределение Максвелла?

4. В чем заключается суть метода Карла Шарлье?

Рекомендуемая литература:

1. Курс социально-экономической статистики. Учебник под ред. проф. М.Г. Назарова. - М.: "Финансы и статистика", 2000.

2. Статистика и управление случайными процессами: Сб. ст / Под ред. А.Н.Ширяева. – М., 1989.

3. Ефимова, М. Р. Социальная статистика: учеб. пособие для студ. вузов / под ред. М. Р. Ефимовой. - М.: Финансы и статистика, 2004.

4. Сиденко, А.В. Практикум по социально-экономической статистике. - М.: Дело и Сервис, 1998.