Процессы переноса

Если в равновесном ансамбле возникает какая-то флуктуация или на ансамбль оказывается внешнее воздействие, делающее ансамбль неоднородным, в нем возникают процессы переноса. Большинство из них (особенно при кратковременном внешнем воздействии) характеризуются временем релаксации или средним временем жизни флуктуации. Чтобы последовательно ввести эти величины требуется изучение процессов на основе кинетического уравнения. В самом простом случае (метод или приближение Блоха) производная в левой части кинетического уравнения заменяется отношением

,

где – время релаксации. При некоторых дополнительных условиях (достаточно часто) оказывается, что

.

Такой тип релаксации называется экспоненциальным. В частности, «рассасывание» флуктуаций обычно происходит именно по такому закону. В других случаях релаксация может происходить другим, иногда весьма экзотическим образом. В любом случае рассасывание есть необратимый процесс, сопровождающийся увеличением энтропии.

С понятием времени релаксации тесно связано (но не совпадает с ним ни по смыслу, ни по величине) понятие среднего времени между столкновениями частиц, обычно обозначаемое как . Пусть столкновения происходят через некоторые интервалы времени , где – число учтенных столкновений, следующих одно за другим. Тогда, по определению, среднее время свободного пробега определяется обычным образом:

.

Обычно порядка , превосходя последнюю величину в несколько раз.

Аналогичным образом вводится средняя длина свободного пробега (см. рисунок 10)

Цифры на рисунке 10 обозначают интервалы времени или пути, проходимые частицей до следующего столкновения, . При этом средняя длина пробега равняется скаляру

.

Если рассматривать атомы или молекулы как шарики с диаметром d, то можно ввести их газокинетическое поперечное сечение, равное площади круга . Такое сечение может характеризовать вероятность столкновения частиц. С помощью распределения Максвелла можно найти, что

,

где – концентрация частиц, т.е. число частиц в единице объема. Сечение определяется путем сложных квантовомеханических расчетов или по данным экспериментов.

Если взять отношение к , то мы получим среднюю скорость частиц ансамбля, которая, равна

.

Эту формулу можно получить, используя распределение Максвелла,

.

Введенные средние величины используются для описания процессов переноса, среди которых основное значение имеют процесс переноса вещества – диффузия, процесс переноса энергии – теплопроводность, процесс переноса импульса – вязкость или внутреннее трение.

Диффузия приводит к установлению равновесного пространственного распределения частиц. Для одномерного случая она подчиняется первому закону Фика

.

Здесь D – коэффициент диффузии (размерность ), – плотность вещества (), – элементарная площадка, перпендикулярная оси х, – масса вещества, перенесенного через за время . Знак «–» показывает, что вещество самопроизвольно переносится туда, где его меньше.

Второй закон Фика рассматривает диффузию как процесс во времени. Для изотропной модели он имеет вид

.

Здесь введен оператор Лапласа

.

Диффузию часто характеризуют плотностью потока диффундирующего вещества (вектор)

.

Поток указывает куда и какое количество переносится вещество за единицу времени через единичную поверхность.

Строго говоря, выше речь шла о самодиффузии, связанной только с неоднородностью ансамбля из одинаковых частиц (её можно наблюдать, введи радиоактивные изотопы данных частиц). Но подобным же образом происходит диффузия в смеси частиц, в неоднородном поле температуры (термодиффузия), в неоднородном поле давления (бародиффузия), диффузия в различных внешних полях – электрическом, магнитном, световом (излучение лазера).

В простом случае коэффициента самодиффузии статистическая (кинетическая) теория дает

.

Похожим образом дается описание теплопереноса. Для этого используется уравнение Фурье, являющееся следствием закона сохранения энергии при её кинетическом рассмотрении. В одномерном стационарном случае это уравнение имеет вид

,

здесь – коэффициент теплопроводности, , знак «–» учитывает, что тепло передается от более нагретой части системы к менее нагретой, через площадку , перпендикулярную оси х, за время .

Кинетическая теория дает

,

где кроме упоминавшихся ранее величин – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Наконец, внутреннее трение или вязкость связана с законом сохранения импульса и возникает из-за трения между условно выделенными слоями жидкости или газа при их параллельном движении с различными скоростями. Импульс передается от слоя к слою в перпендикулярно направлению движения слоев. В одномерной стационарной системе для вязкости записывают уравнение Ньютона

,

– площадка, параллельная слоям и направлениям их движения, ось х перпендикулярна слоям и скоростям, – коэффициент вязкости с размерностью , – сила, которая действует на поверхность .

По элементарной кинетической теории

.

Связь коэффициента вязкости с коэффициентом диффузии не случайна, т.к. вязкость, по сути, имеет диффузионный характер.

Движение сферически симметричного тела радиусом R в вязкой жидкости было рассмотрено Стоксом, который получил следующее выражение для модуля силы вязкости

.

Вектор силы вязкости направлен против направления скорости, так что

.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Часть 1. Механика. §

§

Часть 2 Термодинамика и статистическая физика.