Статистическое описание ансамбля частиц

В основе статистического описания лежат представления о вероятностях (дискретных событий) и функций распределения вероятностей или плотностях вероятностей (для событий, меняющихся непрерывно).

С вероятностями мы встречаемся постоянно, если рассматриваем случайные процессы. Эти понятия в известной мере интуитивны. Ясно, что падение листа с дерева осенью – случайный процесс. Напротив, осенний листопад – закономерное, неслучайное явление. Чаще всего граница между этими категориями событий определяется экспериментально. Можно сказать, что случайный процесс – это явление, причины которого нам (пока) неизвестны.

Стандартные примеры случайных процессов – падение монеты той или иной стороной, или падение кубика одной из цифр от 1 до 6. Эти примеры позволяют указать вероятности тех или иных событий.

Рассмотрим падение монеты. То, что она упадет – достоверное событие, вероятность которого равна единице. А тот факт, что она упадет предсказанной стороной вверх, происходит с вероятностью 0,5. Это проверяется экспериментально. Так, если бросить монету 1000 раз, то появление каждой из сторон произойдет примерно в 500 случаях. Отклонение от числа 500 случаев возможно на незначительную величину, которая называется дисперсией случайной величины. Если стремить число бросков «к бесконечности», вероятность появления заданной стороны монеты станет равным 0,5.

Аналогичным образом бросание кубика большое число раз даст вероятность появления любой грани равной . Разумеется, для этого грани кубика должны быть одинаковыми. Строго говоря, если цифры обозначены углублениями, то грань 1 немного тяжелее грани 6 и поэтому появление цифры 1 немного больше .

Если вспомнить о мешке с черными и белыми шарами, то для предсказания того, какого цвета будет вынутый шар, надо учесть, сколько таких шаров в мешке. Поскольку вероятность того, что шар вынут, равна 1, то можно записать равенство

.

Здесь индекс 1 соответствует вероятности появления белого шара, индекс 2 – появления черного (или наоборот). Кстати, приведенное равенство называется условием нормировки вероятностей. Но по аналогии с кубиком (немного развивая эту аналогию) можно сказать, что вероятность достать белый шар равна

,

где а – число одинаковых белых шаров, – число черных шаров.

Эти элементы статистики и статистической физики нужны для того, чтобы ввести понятие функций распределения.

Рассмотрим случайную величину, изменяющуюся непрерывно. Обозначим её как . Будем считать, что Х может изменяться от А до В. Тогда, очевидно, вероятность найти Х в диапазоне будет пропорциональна (если охватывается весь диапазон , то, очевидно, вероятность должна равняться 1; это опять условие нормировки вероятностей), т.е.

.

Чтобы от пропорции перейти к равенству, надо вставить в правую часть скалярную функцию от аргумента Х:

.

Функция называется функцией распределения или плотностью вероятности. Для нахождения её явного вида приходится использовать либо экспериментальные данные (феноменологический подход), либо строить некоторое уравнение (называется кинетическим уравнением), решением которого служит . В статистической физике кинетическое уравнение получают, исходя из основных законов механики (квантовой механики).

Функция распределения нормируется условием

.

Такая нормировка называется нормировкой на единицу. Если в системе имеется одинаковых объектов, справа вместо 1 иногда ставят число . Тогда говорят, что функция распределения нормирована на «число частиц».

Условие нормировки имеет принципиальное значение для вычисления (предсказания) средних статистических величин, которые можно (нужно) сопоставлять с данными экспериментов.

Средние статистические величины от переменной Х вычисляются следующим образом.

Вначале тождество , где – та физическая величина, которую надо сопоставлять с экспериментом или функциональные зависимости от различных параметров надо исследовать интегрируется с функцией распределения:

.

Интегрирование проводится по всем допустимым значениям Х.

Затем предполагается, что в первом интеграле стоит не сам оператор , а его среднее статистическое значение , которое является независящей от Х константой, которую можно вынести из под интеграла,

.

Поскольку функция распределения предполагается нормированной на единицу, стоящий слева интеграл равен 1 и мы получает окончательную формулу для расчета среднего

.