Аналітичне вирівнювання рядів динаміки

При аналітичному вирівнюванні динамічного ряду фактичні значення y_t замінюються обчисленими на основі певної функції Y = f (t), яку називають трендовим рівнянням (t — змінна часу, Y — теоретичний рівень ряду).

Вибір типу функції ґрунтується на теоретичному аналізі суті явища, яке вивчається, і характері його динаміки. Зазвичай перевага надається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і вимірюють абсолютну чи відносну швидкість розвитку. Суттєвою підмогою при виборі функцій є аналіз ланцюгових характеристик інтенсивності динаміки. Якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, вирівнювання ряду виконується на основі лінійної функції: . Якщо ж відносно стабільними є ланцюгові темпи приросту, то найбільш адекватною такому характеру динаміки є експонента . У зазначених функціях t — порядковий номер періоду (дати), а — рівень ряду при t = 0. Параметр b характеризує швидкість динаміки: середню абсолютну в лінійній функції і середню відносну — в експоненті. Коли характеристики швидкості розвитку зростають (чи зменшуються), використовуються інші функції (парабола 2-го степеня, модифікована експонента тощо).

Параметри трендових рівнянь визначають методом найменших квадратів. Згідно з умовою мінімізації суми квадратів відхилень фактичних рівнів ряду від теоретичних параметри визначаються розв’язуванням системи нормальних рівнянь. Для лінійної функції вона записується так:

,

.

Система рівнянь спрощується, якщо початок відліку часу (t = 0) перенести в середину динамічного ряду. Тоді значення t, розміщені вище середини, будуть від’ємними, а нижче — додатними. При непарнoму числі членів ряду (наприклад, n = 5) змінній t надаються значення з інтервалом одиниця: –2, –1, 0, 1, 2; при парному: –2,5, –1,5, –0,5, 0,5, 1,5, 2,5. В обох випадках , а система рівнянь набирає вигляду

,

.

Отже, . Значення можна визначити за формулами:

для непарного числа членів ряду

;

для парного числа членів ряду

.

Порядок обчислення параметрів лінійної функції розгляне-
мо на прикладі динамічного ряду видобутку нафти в регіоні (табл. 8.4).

Таблиця 9.3 ДИНАМІКА ВИДОБУТКУ НАФТИ

Рік	, млн т	Δ t	Змінна часу t	yt t	= 74,5 + 3,8 t
	63,5	—	–3	–190,5	63,1
	66,8	3,3	–2	–133,6	66,9
	71,0	4,2	–1	–71,0	70,7
	74,3	3,3			74,5
	76,9	2,6		76,9	78,3
	82,2	5,3		164,4	82,1
	86,8	4,6		260,4	85,9
Разом	521,5	´		106,6	521,5

Ланцюгові абсолютні прирости динамічного ряду практично стабільні, тому тенденцію можна описати лінійною функцією. Оскільки довжина ряду n = 7, то Σ t ² = 7 (7² – 1): 12 = 28. Параметри трендового рівняння становлять:

a = Σ y_t: n = 521,5: 7 =74,5;

b = Σ y_t t: Σ t ² = 106,6: 28 = 3,8.

Лінійний тренд має вигляд = 74,5 + 3,8 t, тобто середній рівень видобутку нафти становить 74,5 млн т, середньорічний приріст видобутку — 3,8 млн т.

В останній графі таблиці для кожного року наведено теоретичні рівні , тобто очікувані рівні видобутку нафти в t -му році, зумовлені дією основних чинників розвитку галузі:

для 2003 р. = 74,5 + 3,8 (–3) = 63,1 млн т, для 2004 р. = 74,5 + 3,8 (–2) =
= 66,9 млн т і т. д.

Суми фактичних рівнів і розрахованих за лінійним трендом теоретичних рівнів однакові: = = 521,5 млн т.