4 страница. Основные понятия и виды планов

Канал А, Y position = - 1.00.

Канал В, Y position = 1.00.

МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Основные понятия и виды планов.

Математическое планирование экспериментов, которое предшествует постановке физического, математического и аналогового экспериментов и сопровождает их выполнение, является средством сокращения числа экспериментов и повышения достоверности выявляемых при исследовании зависимостей. Целью математического планирования эксперимента может быть также отыскание экстремальных значений исследуемых зависимостей с наименьшей затратой средств и времени или уточнение коэффициентов в выражающих их уравнениях.

Эмпирическую зависимость, которая выявляется в эксперименте, будем называть уравнением регрессии. Она выражается функцией отклика, связывающей результат эксперимента (или параметр оптимизации) с переменными параметрами, которыми варьируют при проведении опытов:

(11.1)

Независимые переменные х ₁, x₂, ..., x_N принято называть факторами, а их значения (для каждого фактора n значений) – уровнями факторов. Координатное пространство с координатами х ₁, x₂, ..., x_N называют факторным пространством, а геометрическое изображение функции отклика в факторном пространстве – поверхностью отклика.

Различают основные и случайные факторы. К основным факторам относятся все изучаемые факторы, а также другие учитываемые и измеряемые факторы, служащие для стабилизации процесса. Все прочие неустраняемые факторы, не поддающиеся учету и измерению, относят к случайным факторам.

Если в эксперименте выявляется зависимость у от одного фактора х, то такой эксперимент называют однофакторным. Когда на у влияет несколько факторов, то имеет место многофакторный эксперимент.

При использовании методики однофакторного эксперимента в многофакторном эксперименте предполагается, что исследователь может с любой степенью точности стабилизировать все независимые переменные системы, затем, поочередно изменяя некоторые из них, возможно определение искомых зависимостей. Такой эксперимент называют еще пассивным.

Необоснованно завышенное число уровней факторов n, имеющее место при использовании методики однофакторного эксперимента, приводит при многофакторном исследовании к резкому увеличению необходимого числа опытов (n^N). Так, например, для полного исследования влияния четырех факторов, каждый из которых может принимать по 5 значений (5 уровней), потребуется проделать 5⁴=625 различных комбинаций экспериментов. Исследователи, пользующиеся классической методикой однофакторного эксперимента, как правило, вынуждены ограничивать число экспериментов путем исследования только части существенных факторов (уменьшение N), уменьшения числа уровней каждого из факторов (уменьшение n) или исследования влияния каждого из факторов только при некоторых частных значениях других факторов. При этом страдает прежде всего достоверность уравнения регрессии.

Под планированием эксперимента (ПЭ) понимается постановка опытов по заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами.

Можно выделить два основных направления в теории ПЭ: планирование экспериментов по выяснению механизма явлений и планирование экстремальных экспериментов. Планирование первого типа применяется для нахождения уравнения регрессии. Во втором случае экспериментатора интересуют условия, при которых изучаемый процесс удовлетворяет некоторому критерию оптимальности.

Планирование эксперимента представляет собой новый подход к исследованиям, который позволяет успешно решать наиболее важные для исследователя вопросы: сколько и каких опытов следует провести, как обработать их результаты, чтобы решить поставленную задачу с заранее заданной точностью при минимально возможном числе опытов.

Методы ПЭ применимы к любым простым и сложным системам, обладающим свойством управляемости (значения факторов можно менять по желанию экспериментатора) и необходимой степенью воспроизводимости результата.

В теплофизическом эксперименте (для исследования характеристик объектов теплоэнергетики), имеющем свою специфику, математическое планирование не нашло широкого применения, хотя необходимость в этом имеются, так как в этом случае существует воспроизводимость результатов и возможность измерять и целенаправленно изменять переменные. Теплофизический эксперимент часто обладает высоким уровнем априорной информации, т.е. процессы (например, процессы тепломассообмена и трения) с той или иной степенью приближения описываются системой дифференциальных уравнений. В таком эксперименте есть возможность предварительно выявить методами обобщенных переменных или локального моделирования зависимые и независимые обобщенные переменные. Использование этой возможности позволяет сократить число переменных, влияние которых предполагается изучать. При использовании методов ПЭ в таком эксперименте в качестве факторов следует использовать эти обобщенные переменные. В той области теплофизического эксперимента, где не удается выявить обобщенные переменные, в качестве факторов при ПЭ используют абсолютные величины влияющих параметров.

Следует отметить, что ПЭ предъявляет повышенные требования к тщательности проведения эксперимента. Статистические оценки результатов реализации плана эксперимента неизбежно отразят недостатки в экспериментировании.

В ПЭ используются понятия планов первого и второго порядков, ортогональных и ротатабельных планов. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести активный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения. Планы второго порядка позволяют провести активный эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего вторые степени факторов. В дальнейшем увеличении порядка планов чаще всего нет необходимости.

Уравнение регрессии должно быть адекватным, т.е. оно должно в некоторой области соответствовать реальному процессу с требуемой точностью.

Ортогональные планы – это специальным образом составленные планы, обладающие диагональной матрицей системы нормальных уравнений (в такой матрице все члены, кроме расположенных по диагонали, равны нулю) и в связи с этим обеспечивающие простоту вычислений, независимость определения всех коэффициентов уравнения регрессии. Каждый коэффициент в таких планах определяется по результатам всех опытов.

Ротатабельные планы – это таким образом составленные планы, что все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией. При построении плана эксперимента каждый исследователь стремится сделать этот план в определенном смысле оптимальным. К параметрам плана, которые обычно оптимизируются, относят число опытов в плане, степень использования факторного пространства, среднюю или максимальную дисперсию найденных коэффициентов, среднюю или максимальную дисперсию результата эксперимента и т.д. Естественно, что каждому оптимизируемому параметру соответствует свой критерий оптимальности, на основании которого производят выбор наилучшего варианта плана. Используют, например А – G -оптимальные планы, обеспечивающие наименьшие значения соответственно средней дисперсии найденных коэффициентов уравнения и максимальной дисперсии результата эксперимента.

Рациональное планирование

Рациональное планирование экспериментов позволяет при минимальном числе опытов наиболее равномерно охватить всю площадь таблицы возможных сочетаний влияющих факторов. В этом случае эксперимент планируется так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было повторных сочетаний. На рис. 11.1 показан один из возможных планов такого сочетания четырех факторов, каждый из которых может принимать пять значений.

Номер столбца средних (по значению) квадратов соответствует номеру уровня фактора х ₁, а номер строки средних квадратов – номеру уровня фактора х ₃. Из 25 возможных сочетаний факторов х ₂ и х ₄ в каждом из средних квадратов мы выбираем только одно, обозначенное зачерненной клеткой, причем в каждой строке и в каждом столбце мелких квадратов должна быть только одна такая клетка. Нетрудно убедиться, что для каждого уровня одного из факторов, например для x ₁= 1, все уровни прочих факторов встречаются одинаково часто. Так, в этом случае: х ₂ = 3, 4, 5, 2, 1; х ₃ = 1, 2, 3, 4, 5 и х ₄ = 1, 2, 3, 5, 4. Поэтому при определении результатов для х ₁= 1 влияние трех других факторов усреднится и результат будет соответствовать

Рис. 11.1. Рациональный план эксперимента для четырех факторов

и пяти уровней

Производя такое усреднение для каждого уровня фактора х ₁можно найти зависимость результата только от этого фактора при нейтрализации влияния остальных трех факторов. Аналогично можно выявить влияние только фактора х ₂при нейтрализации х ₁, х ₃ и х ₄. Меняя порядок усреднения, можно из одних и тех же данных 25 опытов найти влияние всех четырех первичных факторов. Таким образом, данная методика позволяет заменить полное число сочетаний влияющих факторов, равное 625, всего лишь 25 специально подобранными сочетаниями факторов, т.е. сократить объем экспериментов в 25 раз.

Методика построения комбинационных квадратов. Весь последующий анализ проводится для четырех первичных независимых друг от друга факторов. При этом решение более простых случаев зависимости результатов от трех или двух факторов может быть получено из основного случая при условии, что один или два фактора будут постоянными.

Строится большой комбинационный квадрат (рис. 11.2) и рядом помещается средний квадрат в окружении четырех таких же средних квадратов, примыкающих к нему крест-накрест (см. верхнюю часть рис. 11.2). Пронумеруем в среднем квадрате все клетки от 1 до 25. Центральную клетку в большом квадрате обозначим цифрой 13, т.е. цифрой, располагающейся в центральной клетке среднего квадрата. Затем отметим клетки отдельного среднего квадрата, идущие по диагонали слева направо и сверху вниз 1, 7, 13, 19, 25, и аналогичные им клетки в третьем столбце большого квадрата просто сверху вниз. Отметим также клетки отдельного среднего квадрата, идущие сверху вниз и справа налево, 5, 9, 13, 17, 21 и аналогичные им клетки в третьей строке большого квадрата, идущие справа налево. Таким образом, клетки, располагающиеся на диагонали отдельного среднего квадрата 1, 7, 13, 19, 25, расположатся на большом квадрате вдоль крутой наклонной линии в третьем столбце. Клетки, располагающиеся вдоль другой диагонали 5, 9, 13, 17, 21, при переносе со среднего квадрата на большой квадрат расположатся полого в третьей строке большого квадрата.

Рис. 11.2. Схема построения большого комбинационного квадрата

Если использовать этот же прием, но отсчет вести не от центральной клетки 13, а от какой-либо другой, например 19, то придется продолжить диагональ в квадраты, примыкающие к отдельному среднему квадрату, т.е. взять клетки 2, 23, 19, 15, 6. При переносе этих клеток в большой квадрат они расположатся вдоль ломаной линии в четвертой строке большого квадрата. Продолжая это построение, получаем расположение всех 25 клеток в большом комбинационном квадрате, причем все клетки будут иметь различные номера, т.е. соответствовать различным сочетаниям первичных факторов.

Аналогичными приемами могут быть построены комбинационные квадраты для 7-го, 8-го и т.д. уровней каждого из четырех факторов.

Рис.11.3 Заполненный комбинационный квадрат

Методика обработки данных. Сущность методики рассмотрим на примере для четырех факторов х ₁, х ₂, х ₃, х₄, каждый из которых может принимать одно из пяти следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5. Опыты выполнены по плану, изображенному на рис. 8.3. В клетках, обозначающих комбинации уровней факторов в опытах, записаны значения переменной величины у, полученные в результате проведения эксперимента. Данные опытов сгруппируем по значениям факторов (табл. 11.1, 11.2).

Таблица 11.1

х 2	х 1	Среднее
среднее						–

Для каждого уровня первого, второго, третьего и четвертого факторов находим средние значения величины у. Нанося в системе координат средние значения величины у, соответствующие уровням фактора х _{1 ,} получаем график зависимости у от х ₁. Аналогично строятся графики зависимостей у от остальных факторов. Согласно полученным данным функция у линейно зависит от каждого из факторов. Параметры этих зависимостей найдем с использованием метода наименьших квадратов. Так как все графики частных зависимостей величины у от каждого из факторов аппроксимируются с достаточной точностью прямыми, то зависимость у от всех факторов может быть представлена суммой частных зависимостей.

Таблица 11.2

х 4	х 3	среднее
среднее						–

Свободный член этой зависимости b₀ определяется следующим образом. Подставляя в найденное уравнение значения факторов первого опыта и величину у ₁, полученную в этом опыте, находим значение b ₀₁. Аналогично находим для последующих опытов величины b ₀₂, b ₀₃,…, b _{0 k}. Искомый параметр b ₀определяем как среднеарифметическое величин b ₀₁, b ₀₂,…, b _{0 k}, где k – число проведенных опытов.

Таким образом, методика рационального планирования эксперимента, существенно уменьшая число необходимых опытов, позволяет исследовать некоторые многофакторные системы, однако она имеет и ряд недостатков. К числу основных недостатков отно сятся: отсутствие статистического обоснования результатов, что может привести к ошибочным выводам; ограниченная область применения (описанная методика построения плана эксперимента пригодна не для всякого числа уровней факторов); несовершенство и недостаточная обоснованность способа получения эмпирических зависимостей.

Эти недостатки устраняются в методах статистического планирования эксперимента.