Неустойчивости нелинейных систем. Модель Лотки-Вольтерра

Понятие устойчивости - важнейшее понятие теории управления. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение с течением времени стремится к невозмущенному движению.

Модель Лотки-Вольтерра, известная также как модель "хищник - жертва" чаще всего используют для описания процессов в биологии, медицине и экологии. На ее примере можно рассмотреть неустойчивость нелинейных систем.

Уравнения модели Лотки-Вольтерра:

y -число «хищников», x – число «жертв»; α, β, γ и δ - параметры, представляющие взаимодействие двух видов (секторов).

Первое уравнение можно прочесть так: скорость изменения числа жертв равна естественному росту за вычетом темпа, которым они пожираются хищниками. Скорость пожирания представлена β x y, она пропорциональна как числу хищников, так и числу жертв. Рост числа хищников во втором уравнении пропорционален их питанию dxy, за вычетом естественной убыли - γy.

То есть в общем эту модель можно охарактеризовать следующим образом: Когда число хищников уменьшается, число жертв будет увеличиваться (область А). Когда число жертв возросло, число хищников тоже начинает увеличиваться (область В). Оба агента процветают тогда, когда и хищники и жертвы имеются в изобилии (область С). Постепенное истребление жертв приводит и к падению числа хищников (область D). Эти процессы продолжаются циклически.