Средние величины и показатели вариации

Средние величины.

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности.

Средние, применяемые в статистике, относятся к виду степенных средних и к виду структурных средних.

Представителями первого вида являются средняя арифметическая ():

(1.3)

где: Х - значение варианта признака; m - частота признака;

и средняя гармоническая ():

(1.4)

Критерием правильности выбора вида средней является исходное соотношение. Если имеющаяся информация такова, что в нем необходимо рассчитать числитель - применяется средняя арифметическая, а если необходимо рассчитать знаменатель, то применяется средняя гармоническая. Пример такого соотношения:

Средний Суммарный возраст всех станков

возраст =

станков Число станков

Структурными средними являются мода и медиана.

Модой в статистике называется величина варианты, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Для дискретного ряда она очевидна и не нуждается в расчете, а для интервального вариационного ряда вычисляется по формуле:

(1.5)

где: М_о - значение моды; Х_Мс - начало модального интервала; i_Мо - величина модального интервала; m_Мо, _mМо-1, m_Мо+1 - частота модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине упорядоченного (ранжированного) ряда.

Значение медианы для дискретного вариационного ряда:

где: S_Мe - накопленная частота, соответствующая медианной варианте.

Значение медианы для интервального вариационного ряда:

(1.6)

где: М_е - медиана; Х_ме - начало медианного интервала; i_Ме - величина медианного интервала; S_ме-1 - накопленная частота предмедианного интервала; m_Ме - частота медианного интервала.

Показатели вариации.

Средняя величина показывая то общее, что есть в каждом индивидуальном значении варьирующего признака, ничего не говорит о колебаниях, которым подвержен признак. Эти колебания в статистике измеряются следующими показателями.

Размах вариации (R):

(1.7)

Среднее линейное отклонение (d):

(1.8)

Дисперсия (s²):

(1.9)

Среднее квадратическое отклонение:

(1.10)

Приведенные четыре показателя дают абсолютные величины вариации признака.

Коэффициент вариации (V) дает относительную величину вариации, что позволяет сравнивать по этому показателю качественно разнородные совокупности.

(1.11)

Для качественных альтернативных признаков величина дисперсии (s²) определяется так:

(1.12)

где: p и q - относительные частоты альтернативных признаков.