Понятие о формализованном языке. Семантические категории

Первостепенное значение для логики имеет язык. Именно он является той реальностью, изучение способа построения и употребления которой дает нам знание о логической структуре мыслей, помогает нам постичь законы правильного мышления. Для исследования свойств разговорного или естественного языка, на котором мы общаемся, в логике используется, подобно многим наукам, искусственный или формализованный язык. При помощи этого языка ученые стремятся избегнуть тех ошибок и неточностей, которые мы допускаем в обычной речи. Не всегда следствием использования формализованного языка является краткость выражения или легкость для восприятия, но всегда точность.

Анализ формализованного языка начнем с теории семантических категорий. Для этого рассмотрим пример.

Возьмем следующее арифметическое выражение: “5+7=12”. Это выражение является осмысленным. Кроме этого, оно также и истинно. Если мы в нем заменим цифру “5” на любую другую, оно останется осмысленным, хотя и перестанет быть истинным: “9+7=12”, “4+7=12” и т.д. Но если мы вместо цифры “5” поставим, например, знак “+” или “-“ — оно перестанет быть осмысленным: “++7=12” или “-- +7=12”. Это наталкивает на мысль, что выражения языка можно разбить на классы таким образом, что замена одного выражения другим из одного и того же класса не делает осмысленный текст бессмысленным, однако замена одного выражения другим из разных классов превращает осмысленный текст в бессмысленный. Классы таких выражений называются семантическими категориями. К основным из них относятся: высказывания, имена и функторы.

Высказывание — это мысленное, выраженное в форме повествовательного предложения, отражение объективной связи между предметами. Оно является истинным, если адекватно отражает эту связь, и ложным в противном случае. “Истина” и “ложь” являются логическими значениями высказываний. Так, например, логическими значениями высказываний “Земля вращается вокруг Солнца” и “Волга впадает в Каспийское море” является истина, а высказываний “Земля покоится на трех китах” и “8 меньше 4” — ложь.

Имя — это слово, или сочетание слов, обозначающее какой-нибудь определенный предмет. Будучи поставленным вместо переменной А или В в осмысленное выражение вида “А есть В”, оно не делает это выражение бессмысленным. Так, в выражении “Золото — металл желтого цвета” именами являются выражения “золото” и “металл желтого цвета”.

Функтор — это выражение, не являющееся высказыванием или именем, но выступающее средством порождения высказываний, имен или новых, более сложных функторов. Выражение, с помощью которого функтор порождает новое, более сложное выражение, называется аргументом этого функтора. Функторы различаются на основании: а) семантической категории, порожденной функтором; б) числа аргументов; в) семантической категории аргументов.

Так, функтор “неверно, что” может быть охарактеризован как одноаргументный функтор, с помощью которого порождаются высказывания из аргументов — высказываний. Например, “Неверно, что Солнце вращается вокруг Земли”.

“И” — двухаргументный функтор, с помощью которого порождаются высказывания из других высказываний. Например: “На улице идет дождь и дует ветер”. К этому же виду функторов относятся функторы “если..., то”, “или” и др. Вместе с функтором “неверно, что” они называются логическими связками или логическими союзами, поскольку служат для связи и преобразования высказываний и имен.

Такое, например, выражение, как “тает” — это одноаргументный функтор, с помощью которого образуются высказывания. В качестве аргументов здесь выступают имена. Например: “Снег тает”.

“Меньше” — двухаргументный функтор, с помощью которого образуются высказывания. В качестве аргументов и здесь выступают имена. Например, “5 меньше 10”.

“Северный” — одноаргументный функтор, с помощью которого образуются имена. Аргументами при этом тоже являются имена. Например: “Северный полюс”.

“´” — двухаргументный функтор, с помощью которого образуются имена. В качестве аргументов также выступают имена. Например: “2 ´2”.

Среди функторов формализованных языков особое место принадлежит именным функциям, пропозициональным функциям и операторам.

Именная функция — это выражение, содержащее логические переменные и превращающееся в имя при подстановке вместо переменных их значений. Например: “х железа”, “b³”, “столица государства n”. Эти выражения являются именными функциями. Они превращаются в имена, если вместо переменных “x”, “b”, “n” подставить соответственно такие, например, значения: “окись”, “4”, “Франция”.

Пропозициональная (от лат. propositio — предложение) функция — это выражение, содержащее логические переменные и превращающееся в высказывание при подстановке вместо переменных тех выражений, которые соответствуют значениям этих переменных. Примерами пропозициональных функций могут служить:

а) “х открыл Америку”. Это выражение превращается в высказывание (истинное или ложное, но не то и другое вместе), если вместо х подставлять имена людей: “Колумб открыл Америку”, “Магеллан открыл Америку”, “Аристотель открыл Америку” и т.д.

б) “Если p, то q”. Это выражение превращается в высказывание, если вместо p и q подставлять высказывания: “Если телу придана скорость свыше 11,2 км/сек., то оно преодолеет притяжение Земли”.

в) “В том году в Поволжье была сильная засуха”. Здесь роль переменной выполняет местоимение “том”, и пока вместо него не подставлено наименование какого-то года, нельзя сказать, выражает ли это предложение истинную или ложную мысль.

Пропозициональная функция, аргументами которой являются имена, называется предикатом. Предикат можно превратить в высказывание не только указанным способом. Например, предикат “х открыл Америку” превращается в высказывание, если ему предпослать выражение “для некоторого х верно, что” или “для всякого х верно, что”. В первом случае мы получим истинное, а во втором — ложное высказывание (разумеется, если иметь в виду, что область значений переменной х — люди).

Выражение “для некоторого х верно, что”, или “существует х”, называется квантором существования и обозначается знаком $. Выражение “для всякого х верно, что” называется квантором общности и обозначается знаком ".

Принято говорить, что квантор связывает переменную, к которой он относится. Такая переменная называется связанной. При отсутствии квантора переменная называется свободной.

Кроме кванторов общности и существования, имеются и другие выражения, связывающие переменные. Все эти выражения объединяются общим названием — “операторы”.

При формализации знания может быть использован тот или иной набор семантических категорий. Например, отдельные фрагменты знания могут быть формализованы с помощью так называемого языка логики высказываний. При этом используются переменные, вместо которых можно подставлять высказывания (пропозициональные переменные), а также функторы, способные порождать из высказываний, новые, более сложные высказывания.

Более богатым языком является язык логики предикатов. Кроме символов логики высказываний, в нем выступают имена и именные переменные, предикаты и кванторы.

Тема 2.

Понятие.

Общая характеристика понятия. Содержание и объем понятия. Виды понятий.

Понятие — это форма мышления, в которой обобщаются и выделяются предметы и явления того или иного класса по существенным признакам. Существенным называется такой признак, который выражает коренную природу выделяемых предметов и служит основой обобщения их в классы.

Всякое понятие со стороны структуры характеризуется наличием определенного объема и содержания. Объемом понятия называется совокупность (класс) предметов, которые мыслятся в данном понятии, а содержанием — совокупность признаков, на основании которой предметы обобщаются в классы.

По объему понятия делятся на единичные и общие. Единичными называются понятия, в которых отражаются классы состоящие из одного элемента (“философ Сократ”), а понятия, в которых отражаются классы, состоящие из двух и более элементов, называются общими (“философ”). Кроме этого, выделяют понятия, объемы которых представляют собой классы, не содержащие ни одного элемента (“вечный двигатель”). Такие понятия называются нулевыми или пустыми.

Общие понятия могут быть регистрирующими и нерегистрирующими. Регистрирующими называются понятия, в которых множество мыслимых в нем элементов поддается учету, регистри­руется (во всяком случае в принципе). Например, «участник международной конференции по физике». Регистрирующие понятия имеют конечный объем.

Общее понятие, относящееся к неопределенному числу пред­метов, называется нерегистрирующим. Так, в понятии «чело­век» множество мыслимых в нем элемен­тов (людей) не поддается учету. Так как в поня­тии «человек» мыслятся все люди, которые существовали когда-либо, существуют и будут существовать. Нерегистрирующие поня­тия имеют бесконечный объем.

В особую группу выделяются собирательные понятия, в кото­рых мыслятся совокупности элементов, составляющих единое целое, например «коллектив», «полк», «созвездие». Эти понятия, так же как и общие, отражают множество элементов (членов коллектива, солдат и командиров полка, звезд), однако, как и в единичных понятиях, это множество мыслится как единый предмет.

Содержание собирательного понятия нельзя отнести к каж­дому отдельному элементу, входящему в его объем, оно относится ко всей совокупности элементов. Например, существенные при­знаки коллектива (группа лиц, объединенных общей работой, общими интересами) неприложимы к каждому отдельному члену коллектива. Собирательные понятия могут быть общими («кол­лектив», «полк» и т. п.) и единичными: «коллектив нашего института», «86-й стрелковый полк», «созвездие Большой Медве­дицы».

В процессе рассуждения общие понятия могут употребляться в разделительном и собирательном смысле.

Если высказывание относится к каждому элементу класса, то такое употребление понятия будет разделительным; если же высказывание относится ко всем элементам, взятым в единстве, и неприложимо к каждому элементу в отдельности, то такое употребление понятия является собирательным. Например. высказывая мысль «Студенты нашего института изучают логику», мы употребляем понятие «студенты нашего института» в разде­лительном смысле, так как данное утверждение относится к каждому студенту института. В высказывании «Студенты нашего института провели теоретическую конференцию» утверждение относится ко всем студентам нашего института в целом. Здесь понятие «студенты нашего института» употребляется в собира­тельном смысле. Слово «каждый» к данному суждению неприло­жимо.

Понятия делятся на конкретные и абстрактные в зависимости от того, что отражают понятия: предмет (класс предметов) или его свойство (отношение между предметами).

Понятие, в котором мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее, называется конкретным; понятие, в котором мыслится свойство предмета или отношение между предметами, называется абстрактным. Так, понятия «книга», «свидетель», «государство», «происшест­вие», «обвинение» являются конкретными; понятия «белизна», «смелость», «ответственность» — абстракт­ными.

Различие между конкретными и абстрактными понятиями основано на различии между предметом, который мыслится как целое, и свойством предмета, отвлеченным от самого предмета и отдельно от предмета не существующим. Абстрактные понятия образуются в результате отвлечения, абстрагирования опреде­ленного признака предмета от самого предмета; эти признаки мыслятся как самостоятельные объекты мысли. Так, понятия «смелость», «невменяемость» отражают призна­ки, не существующие сами по себе, в отрыве от лиц, обладающих этими признаками. Это абстрактные понятия.

Не следует смешивать конкретные понятия с единичными, а абстрактные с общими. Общие понятия могут быть и конкретны­ми, и абстрактными (например, понятие «преступление» — общее, конкретное; понятие «преступность» — общее, абстракт­ное). Как конкретным, так и абстрактным может быть и единич­ное понятие (например, понятие «Великая Французская революция» — единичное, конкретное; понятие «смелость рядового Смирнова» — единичное, абстракт­ное).

Понятия делятся на положительные и отрицательные в зави­симости от того, составляют ли их содержание признаки, прису­щие предмету, или признаки, отсутствующие у него.

Понятия, содержание которых составляют признаки, прису­щие предмету, называются положительными. Понятия, в содер­жании которых указывается на отсутствие у предмета определен­ных признаков, называются отрицательными. Так, понятия «гра­мотный», «порядок», «логичный», «верующий» являются поло­жительными; понятия «неграмотный», «беспорядок», «алогич­ный», «неверующий» — отрицательными.

В русском языке отрицательные понятия выражаются слова­ми с отрицательными приставками «не» и «без»: «независи­мость», «небрежность», «беззаконие», «бездействие», «неповино­вение», «неисполнение приказа», «недонесение»; в словах иност­ранного, преимущественно греческого, происхождения — чаще всего словами с отрицательной приставкой «а»: «аморальный», «аполитичный», «асимметрия» и т. д. (Не следует смешивать логическую характеристику понятий как положительных и отрицательных с политической, нравственной, юриди­ческой оценкой тех явлений, которые они отражают. Так, понятия «на­циональная вражда», «преступление» явля­ются положительными: в них указаны признаки, принадлежащие предме­ту. Однако явления, отраженные в этих понятиях, вызывают у нас отрицательную оценку. Ясно, например, что национальная вражда как объективно существующее явление не может вызвать у человека положительного отношения).

Понятия делятся на безотносительные и соотносительные в зависимости от того, мыслятся ли в них предметы, сущест­вующие раздельно или в связи с другими предметами.

Безотносительные понятия отражают предметы, существую­щие раздельно и поэтому мыслящиеся вне отношения к другим предметам. Таковы понятия «студент», «государство», «народный суд», «потерпевший», «место преступления» и др. В соотноси­тельных понятиях отражаются предметы, существование которых связано с существованием других предметов, поэтому они не мыслятся один без другого. Например: «родители» и «дети», «на­чальник» и «подчиненный», «причина» и «следствие». В этих поня­тиях отражены предметы, существование одного из которых предполагает существование другого.

Определить, к какому виду относится то или иное понятие, значит дать ему логическую характеристику. Так, давая логическую характеристику понятию «юрист», нужно указать, что это понятие общее (нерегистрирующее), конкретное, положительное, безотносительное.

Логическая характеристика понятий помогает уточнить их со­держание и объем, выработать более точное употребление выра­жающих их слов.