Особенности переходного процесса дискретных систем

В непрерывных линейных системах переходная функция всегда принимает установившееся значение при t=∞. Однако возможны линейные дискретные системы, в которых переходный процесс за­канчивается за конечное число шагов, т. е. существует такое положительное число l₀, что

h[lT] = h[l₀T] = h(∞). (13.3.1)

Если выполняется условие (13.3.1), то переходный процесс называется оптимальным, а система, в которой происходит такой процесс, называется оптимальной (по переходному процессу) системой.

Условие оптимальности системы (по переходному процессу). Переходя к оригиналам, из равенства

по теореме о свертке получим

(13.3.2)

По определению переходной функции при g[lT] = 1[IT] из (13.3.2) имеем

(13.3.3)

Отсюда следует, что система будет оптимальной по переходному процессу, т.е. будет выполнено условие (13.3.1), если

W_yg[lT} = 0 при к>l₀. (13.3.4)

При выполнении этого условия передаточная функция, связанная с весовой функцией z-преобразованием, принимает вид

(13.3.5)

В общем случае передаточная функция W*_yg(z) представляет собой отношение полиномов:

, (13.3.6)

и она при разложении в ряд Лорана примет вид (13.3.5), если

a₁=a₂=… = a_n= 0. (13.3.7)

Действительно, в этом случае имеем

Таким образом, система (13.3.6) является оптимальной (переходный процесс в ней заканчивается за конечное число шагов), если выполняется условие (13.3.7).