Критерий Найквиста

Для исследования устойчивости дискретных систем можно использовать также критерий Найквиста (точнее, его аналог). Как и в случае непрерывных систем, он используется для определения устойчивости замкнутой системы по амплитуд­но-фазовой частотной характеристике ее разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция дискретной системы управления в разомкнутом состоянии имеет вид

где — полиномы от e^sT.

Критерий Найквиста. Если разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет к основных корней в правой полуплоскости и не содержит корней на мнимой оси, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф частотной передаточной функции ) при изменении частоты от 0 до охватывала точку к/ 2 раз.

Если разомкнутая система устойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

Доказательство. Рассмотрим функцию

В числителе имеем характеристический полином замкнутой системы, а в знаменателе — характеристический полином разомкнутой системы. Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все нули характеристического полинома замкнутой системы располагались в левой полуплоскости или в соответствии с принципом аргумента выполнялось равенство

.

По условию характеристическое уравнение имеет к основных корней в правой и остальные п—к основных корней в левой полуплоскости. Поэтому в соответствии с принципом аргумента

И так как , то

.

Отсюда следует: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора охватывал начало координат к/2 раз.

В силу равенства годограф получается из годографа путем сдвига последнего влево на единицу(рис. 7.2). Поэтому для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора

Рис. 13.2.2. К доказательству критерия Найквиста: а — годограф , б— годограф

при изменении частоты от 0 до охватывал точку (—1, j0) к/2 раз.

Если разомкнутая система устойчива, то к=0, и для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф не охватывал точку (—1, j0).

Пример 13.2.1. Передаточная функция разомкнутой системы

период следования импульсов Т = 0,1. Исследовать устойчивость замкнутой системы.

Решение. Определим устойчивость по критерию Найквиста. Частотная передаточная функция разомкнутой системы определяется следующим образом:

Введя обозначения

выпишем отдельно вещественную и мнимую части:

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 13.2.3) не охватывает точку (—1, j0). Разомкнутая система устойчива, так как нули z₁=0,7 и z₂=0,5 характеристического полинома разомкнутой системы Q*(z) = z² — 1,2z + 0,35 по модулю меньше единицы. Следовательно, замкнутая система устойчива.

Рис. 13.2.3. АФЧХ

Псевдочастотный критерий.

Как было показано, применив преобразование , при определении устойчивости дискретных систем можно воспользоваться всеми методами исследования устойчивости непрерывных систем. Подставим это выражение в передаточную функцию разомкнутой дискретной системы W*(z): .

Положив (иногда делают подстановку ), получим функцию

Переменная не имеет физического смысла частоты, функция — физического смысла частотных передаточных функций непрерывных и дискретных систем. Переменную называют псевдочастотой, функцию — псевдочастотной передаточной функцией, а характеристики (амплитудно-фазовые, логарифмические и другие), которые строятся на основе , называют псевдочастотными характеристиками.

С использованием псевдочастотной характеристики (т.е. годографа при изменении от 0 до ∞) критерий устойчивости Найквиста формулируется так же, как и в случае непрерывных систем. Точно так же совпадают формулировки логарифмического псевдочастотного критерия устойчивости дискретных систем и логарифмического частотного критерия устойчивости непрерывных систем.