Системы экстремального регулирования

Системами экстремального регулирования называются системы, в которых задающие воздействия, т. е. заданные значения регулируемых величин, определяются автоматически в соответствии с экстремумом (максимумом или минимумом) некоторой функции . Эта функция зависит не только от регулируемых величин но и от неконтролируемых параметров системы и времени t. Поэтому она не является постоянной и заранее известной. Однако изменение функции F и смещение экстремальных значений регулируемых величин протекает относительно медленно.

Условием экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных является равенство нулю в точке экстремума частных производных этой функции:

(14.1.1)

Градиентом функции F называется векторная величина

(14.1.2)

где — единичные векторы осей, по которым отсчитываются

величины

В точке экстремума градиент равен нулю:

(14.1.3)

Задача поиска экстремума разбивается на две:

1) определение градиента;

2) организация движения в точке экстремума.

Для решения как первой, так и второй задачи предложено много способов. Обратимся сначала к задаче определения градиента.

Способ синхронного детектирования Способ основан на том, что к основным медленно меняющимся величинам у_и.. у_п добавляются малые гармонические (в общем случае периодические) составляющие: Величина F (y₁.. у_п) поступает на синхронные детекторы (рис. 14.1.2), у которых в качестве опорных величин используются те же переменные составляющие (14.1.4). Идеальные синхронные детекторы умножают величину F на переключающую функцию, представляющую собой прямоугольную волну с периодом ( = 1, 2,.. n) и высотой единица. Переключающая функция приближенно может быть заменена синусоидой с единичной амплитудой. Поэтому средние значения выходных величин синхронных детекторов приближенно могут быть представлены в виде

(14.1.4)

Рисунок 14.1.2

В квазистационарном режиме, когда составляющие меняются медленно по сравнению с поисковым движением величины с точностью до малых высших порядков пропорциональны соответствующим частным производным в точке и следовательно, определяют в этой точке.

Для доказательства этого разложим функцию F в окрестностях точки в степенной ряд:

(14.1.5)

В последнем выражении значения частных производных соответствуют точке

Выходные величины синхронных детекторов можно представить в виде

(14.1.6)

Если величины постоянны или меняются настолько медленно, что их изменениями за небольшой период можно пренебречь, то, учитывая очевидные равенства:

(14.1.7)

выражение (14.1.6) можно свести к виду

(14.1.8)

Погрешность метода определяется членом , которому соответствует выражение

(14.1.9)

Величина по отношению к амплитудам имеет порядок

малости не ниже третьего, а по сравнению с — не ниже второго. Если частоты выбраны по закону нечетных чисел где = const, то удовлетворяются условия Тогда

(14.1.10)

и величина имеет порядок малости не ниже четвертого.

Таким образом, выходные величины синхронных детекторов с достаточной степенью точности можно считать пропорциональными составляющим градиента в точке :

(14.1.11)

Способ производной по времени. Производная по времени функции определяется выражением

(14.1.12)

Отсюда следует, что, задавая поочередно скорости изменения .и измеряя производную по времени , можно найти составляющие градиента (14.1.3). Некоторым недостатком этого метода является необходимость дифференцирования функции F по времени, что сопровождается поднятием уровня высокочастотных помех.

Способ запоминания экстремума

Этот способ заключается в том, что система совершает вынужденное или автоколебательное движение в районе экстремума. При достижении экстремального значения оно фиксируется на запоминающем устройстве. Градиент функции опр е деляется затем по разности текущего и экстремального значений