Критерий устойчивости Джури

Составим таблицу Джури, которая содержит п + 1 строк и столько же столбцов. При этом заполненные клетки имеют треугольную форму: нулевая строка содержит п+1 заполненных клеток, а все последующие строки имеют на единицу меньше заполненных клеток, чем предыдущая строка (табл. 13.1.1).

Таблица 13.1.1. Таблица Джури

Клетки нулевой строки заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания нижних индексов: d_ok = = a_k (к=0,1,..., п). Элементы первой строки d_1k (к = 0,1,..., п — 1) вычисляются следующим образом.

Выписываются элементы нулевой строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов двух выписанных :

Последняя разность обращается в нуль, и она отбрасывается. Поэтому первая строка содержит п элементов: на один элемент меньше, чем нулевая строка.

Элементы всех последующих строк определяются аналогично элементам первой строки. Так, например, для вычисления к-й строки выписываются элементы (к—1)-й строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов выписанных двух строк Последняя разность, обращающаяся в нуль, отбрасывается. Формула для вычисления i -го элемента к-й строки (к = 1, 2,..., п) имеет вид

(13.1.11)

Критерий Джури. Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

находились внутри единичного круга, необходимо и достаточно, чтобы при а_о>0 все элементы нулевого столбца таблицы Джури были положительны: d_oi >0, i = 1, 2,..., п.

Если все элементы нулевого столбца, кроме последнего, положительны: d_oi >0, i = 1,2,..., п — 1, то положительность последнего элемента, т.е. условие d_on > 0, эквивалентно необходимому условию устойчивости (13.1.5). Поэтому если необходимое условие выполняется, то последний элемент d_on можно не вычислять.

Пример 13.1.3. Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

.

Исследовать устойчивость данной системы.

Решение. Сначала проверим необходимое условие устойчивости:

.

Необходимое условие устойчивости выполняется. Вычислим элементы таблицы Джури.

Для нулевой строки имеем

c₀₀ = 1, c₀₁ = -0,7, c₀₂ = -0,4, с₀₃ = 0,05, с₀₄ = 0,1.

Ниже приводится вычисление элементов таблицы Джури для остальных строк, кроме последней:

Элементы нулевого столбца (кроме последнего) равны соответственно

с₀₀ = a₀ = 1, с₁₀ = 0,99, с₂₀ = 0,975, с₃₀ = 0,897,

и они положительны. Так как выполняется необходимое условие устойчивости, последний элемент нулевого столбца также будет положительным. Следовательно, система устойчива.