Характеристическое уравнение и основное условие устойчивости

Если внешние воздействия заданы, то уравнения дискретной сис­темы управления можно записать в виде

(13.1.1)

или, в операторной форме,

Характеристическое уравнение имеет вид

(13.1.2)

Характеристический полином (левая часть характеристического уравнения) получается при подстановке в собственный оператор

вместо оператора смещения Е переменной z.

Если задана передаточная функция системы управления, то при определении характеристического полинома нужно исходить из следующих положений: по определению передаточной функции в операторной форме ее знаменатель есть собственный оператор, а знаменатель передаточной функции в z-изображениях совпадает с характеристическим полиномом (при условии, что передаточная функция в операторной форме не содержит одинаковых нулей и полюсов).

Общее решение неоднородного разностного уравнения (13.1.1) имеет вид

,

где у_в (t) — частное решение этого уравнения и у_с (t) — общее решение соответствующего однородного уравнения.

Линейная дискретная система управления называется устойчивой, если общее решение однородного разностного уравнения при стремится к нулю:

(13.1.3)

Если все корни характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения имеет вид

(13.1.4)

где C_i — произвольные постоянные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень Zj кратности kj, то ему в (13.1.4) соответствует слагаемое

Из (13.1.4) и последнего выражения следует, что условие (13.1.3) будет выполнено в том и только том случае, когда при всех 1, 2,..., п.

Основное условие устойчивости. Для того чтобы линейная дискретная система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были по модулю меньше единицы, или, что то же, находились внутри единичного круга на z-плоскости корней.