Анализ нелинейных систем на фазовой плоскости. Классификация особых точек. Автоколебания. Метод точечных преобразований

При исследованиях нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, относящийся к группе графоаналитических методов, описывающих поведение систем при помощи наглядных геометрических представлений - фазовых портретов. Применительно к линейным системам этот метод рассмотрен в разделе 6.3.

Основные понятия

Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.

Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Последние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:

(10.2.1)

,где y₁, y₂, …, y _n - фазовые координаты: t - время;f₁, f₂, …, f _n - нелинейные функции.

Фазовые координаты y₁,y2,…,y_n могут иметь любой физический смысл - температура, концентрация и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее (n−1) производную, т.е.

y₁(t)=y(t), y₂(t) =y′(t),…,y_n(t)=y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)

Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных уравнений (10.2.1) для системы второго порядка запишется в виде

(10.2.2)

Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо исключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее

(10.2.3)

решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми траекториями системы.