Метод сшивания

Метод сшивания во многом аналогичен методу припасовывания. И часто эти два метода рассматривают вместе, как один. Метод сшивания применим во всех тех же ситуациях, что и метод припасовывания, т.е. статическая характеристика нелинейного элемента является кусочно-линейной функцией. При построении фазового портрета эта характеристика разбивается на линейные участки, для каждого из которых строится своя фазовая траектория и определяется некоторая область фазового пространства.

Общий фазовый портрет получается "сшиванием" отдельных областей желаемым образом. При переходе изображающей точки через границы этих заранее установленных областей, система изменяет свою структуру.

Таким образом, метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной структурой. Примерами таких систем являются релейные системы, замыкающие или размыкающие часть схемы при переходе через линии сшивания. В таких системах при определенных условиях

Рисунок 10.2.12 Релейная система: а - структурная схема; б - статическая характеристика

возможно получить виды движения более высокого качества, чем в любой из отдельно взятых структур.

В качестве примера рассмотрим простейшую релейную систему (рис. 10.2.12, а), состоящую из линейной части, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, и нелинейного элемента со статической характеристикой (рис. 10.2.12, б).

Таким образом, пусть рассматриваемая система описывается следующим образом

где y₁= y;y₂= dy/dt =dy₁/dt; k− коэффициент усиления линейной части;f(y₁)- релейная характеристика: f(y₁)=asigny₁. Тогда уравнение фазовой траектории или

Верхний знак соответствует правой, нижний - левой полуплоскости. Ось ординат является линией переключения. Фазовыми траекториями являются замкнутые кривые, образованные отрезками парабол (рис. 10.2.13, а).

Введение зоны нечувствительности приводит к появлению отрезка покоя и полосы, образованной линиями переключения, внутри которой отрезки траекторий горизонтальны (рис. 10.2.13, б). При наличии гистерезиса процесс расходится (рис. 10.2.13, в).

Рисунок 10.2.13 - Фазовые портреты релейной системы: а - с двухпозиционным реле; б - с двухпозиционным реле с зоной нечувствительности; в - с двухпозиционным реле с гистерезисом

Стабилизировать подобную систему можно, охватив релейный элемент отрицательной обратной связью, по производной выходной величины. Тогда фазовый портрет описывается уравнением

и, следовательно, , если

, если

Линия переключения

(рис. 10.2.14) представляет собой прямую, проходящую через начало координат и наклоненную под углом arctg(−1/k_ос). Справа от этой линии , слева . Фазовые траектории в обоих случаях - параболы, положение вершин которых определяется постоянной интегрирования C, зависящей от начальных условий. Полностью фазовый портрет рассматриваемой системы изображен на рис. 10.2.14, а.

Рисунок 10.2.14 - Построение фазового портрета методом сшивания: а - фазовый портрет; б - движение по линии переключение

На линии переключения можно выделить три характерных участка, разграниченных точками касания А и В линии переключения с показанными пунктиром параболами. За пределами отрезка АВ фазовая траектория по одну сторону линии переключения после перехода через нее является продолжением траектории по другую сторону линии. Внутри отрезка АВ фазовые траектории подходят к нему с двух сторон и упираются в него. Изображающая точка не может сойти с этого отрезка, но не может и остаться на нем. Этот процесс можно расшифровать следующим образом. Пусть движение идет по фазовой траектории 1 (рис. 10.2.14, б). Как только фазовая траектория пересечет линию переключения АО, вступит в свои права фазовая траектория 2, которая вернет процесс к отрезку ОА. Однако, на пути движения встречается фазовая траектория 3 и т.д. В результате изображающая точка вибрирует около линии переключения и перемещается к началу координат. В этом случае говорят, что изображающая точка скользит по линии переключения к равновесному состоянию типа устойчивого узла. Процесс такого рода называется скользящим процессом, а отрезок АВ - линией скольжения.

Движение вдоль линии скольжения определяется только линией переключения и совершенно не зависит от параметров линейной части. Это обстоятельство используется при построении многих систем с переменной структурой.