Математическая формулировка задачи. Пусть aj -объем производства в пункте i, i = ,2,,n;

Пусть a_j -объем производства в пункте i, i =,2,...,n;

b_j, -объем потребления в пункте j, j=1,2,...,m;

c_ij - затраты на перевозку единицы продукта из a_i в b_j;

x_ij - количество продукта, перевозимого из a_i в b_j.

Эти параметры задачи определяют структуру таблицы в виде транспортной матрицы. Ниже приведен пример такой структуры.

Пункт пр-ва	Пункт потребления (j)	Объем пр-ва
1 2 3	X11 X21 X31	X12 X22 X32	X13 X23 X33	X14 X24 X32	390 150 140
Объем потребления

Затушеванные ячейки используются в правых частях ограничений, а изменяемые размещаются на пересечении строк и столбцов пунктов производства и потребления. Затраты на перевозки Сij размещаются в матрице затрат с аналогичной структурой.

Целевая функция:

Ограничения:

Частным случаем транспортной задачи является задача о назначениях в следующей формулировке.

Для выполнения n работ (i=1,2,...,n) привлекаются n рабочих (j=1,2,...,n), каждый из которых готов выполнить любую из этих работ (но только одну) за соответствующую плату с_ij. Если принять, что x_ij - согласие выполнить i-ую работу j-ым рабочим (x_ij = 1 при согласии и x_ij = 0 при несогласии), то математическая формулировка задачи остается прежней при ограничениях:

С математической точки зрения задача о назначениях относится к задачам булевского программирования.

4.1. Модель производства с запасами

Фирма переводит свой завод на производство новых изделий, которые

планируется выпускать в течение 4-х месяцев. Оценки спроса на изделия в

каждый из этих месяцев приведены в таблице:

Месяц поставки изделия
Спрос (штук)

В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет:

• избытка изделий, произведенных в предшествующие месяцы;

• изделий, произведенных в текущем месяце;

• изделий, произведенных в последующие месяцы для погашения невыполненных ранее заказов.

Затраты на изготовление одного изделия составляют $4. Изделие, произведенное, но не поставленное потребителю в текущем месяце, влечет засобой дополнительные издержки на хранение в размере $0,5 за каждый месяц хранения. Изделие, выпускаемое в счет невыполненных заказов облагается штрафом в размере $2 за каждый месяц недопоставки.

Объем производства меняется от месяца к месяцу по внутризаводским причинам. В рассматриваемые 4 месяца планируется следующая программа выпуска изделий:

Месяц производства изделия
Выпуск (штук)

Требуется уточнить (доопределить) эту программу таким образом, чтобы она обеспечивала минимальные издержки, обусловленные несогласованностью спроса и предложения. Как изменится найденной решение, если издержки на хранение будут больше штрафа, равны штрафу?

4.2. Оптимизация плана развития производства.

Фирма разрабатывает, план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года приведен в таблице.

При работе в одну смену фирма может собирать 1200 компьютеров каждый квартал при стоимости сборки $100 за компьютер. Если ввести вторую смену, ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров, но сборка каждого компьютера во вторую смену обойдется дороже-$120 за компьютер. Изготовленные в текущем квартале компьютеры могут продаваться в последующие кварталы, однако хранение одного компьютера на складе обходится в $30 за квартал.

1.Сколько компьютеров следует собирать ежеквартально в первую и вторую смены, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?

2.На сколько процентов следует использовать мощность первой смены в I квартале?

3.Сколько компьютеров следует собрать и сбыть во II квартале?

4.Сколько компьютеров следует собрать во II квартале для сбыта в третьем квартале?

Квартал	Спрос
I II III IV	1000 500 3000 2000

4.3. Назначение торговых агентов

Предприятие по производству головных уборов рассматривает возможности освоения новых рынков сбыта в пяти городах. Возможности сбыта невелики, так что в каждый город достаточно направить по одному торговому агенту.

Город Г1 Г2 Г3 Г4 Г5

Спрос ($) 5200 7000 6400 4800 3000

Данные таблиц содержат оценки спроса на изделия предприятия и оценки степени освоения рынка семью представителями предприятия, которые могут быть использованы в качестве торговых агентов в осваиваемых городах.Сделайте назначения на должности пяти торговых агентов, приводящие к максимальному сбыту продукции предприятия. Каков максимальный общий объем реализации продукции?

Представитель предприятия
Оценка степени освоения рынка	0,75	0,6	0,55	0,8	0,5	0,45	0,65

Предприятие рассматривает возможность послать в города Г2 и ГЗ по два торговых агента, разделяя эти города на две «сферы влияния», приведет ли это решение к росту объемов реализации продукции? Какие представители предприятия должны быть назначены в эти города для достижения максимального общего объема реализации?

Предприятие рассматривает возможность послать в города Г4 и Г5 одного торгового агента в связи небольшими объемами сбыта. Оправдано ли это решение?

4.4 Распределение заказов

Фирма распределяет заказы на разработку пяти программ между пятью программистами. В таблице приведены оценки времени разработки программ (в днях), данные самими программистами.

Программист	Время,требуемое для разработки программы (в днях)
Пр1	Пр2	Пр3	Пр4	Пр5
Петров Иванов Сидоров Никитин Волков	46 47 44 47 41	59 56 52 60 63	24 32 19 17 20	62 55 61 65 60	67 70 73 60 75

Каждый программист оценил свои условия оплаты труда ($/день) в соответствии с таблицей.

Решите задачу о назначении программистов на разработку программ.Какие минимальные затраты несет фирма при предложенном назначении? Каков минимальный срок выполнения всего объема работ, выполняемых фирмой?

Программист	Оплата труда ($/день)
Петров Иванов Сидоров Никитин Волков	50 90 40 70 60

Фирма рассматривает возможности сокращения затрат на работы по программированию. Для этого предлагается два варианта:

•сократить сроки выполнения работ на 10% с одновременным повышением ставок оплаты на 5%,

•увеличить сроки выполнения работ на 10% с одновременным сокращением ставок на 5%.

Оправданы ли эти варианты и как они изменяют назначения программистов?

5. Составление «скользящих» графиков

Скользящий график - одна из разновидностей расписания работ, в котором чередование рабочих смен составляется с учетом необходимости наличия определенных ресурсов в тот или иной период рабочего времени. Использование таких графиков позволяет минимизировать издержки, связанные с избытками рабочей силы, транспортных средств, других видов ресурсов.

Ниже на рисунке приведен пример скользящего графика чередования шести 8-ми часовых рабочих смен. XI-Х6 - количество работающих в каждой из б-ти смен.