Математическая формулировка задачи

SPEECH PRACTICE

1. Role-play. Disagree with the following statements. Give your reasons. Use the formulas of disagreement:

Far from it. You are mistaken. I don’t think so.

1) The basic document used in insurance is a cover note.

2) General average means partial loss or damage accidentally caused to a particular lot of goods.

3) An insurance policy is issued for each shipment of goods.

4) Normally goods are insured for the CIF value of the consignment.

5) An insurance premium is the name given to the sum of money paid to the insured by an insurance company if something goes wrong to the goods.

6) If a customer is unsatisfied with the execution of his order he may sue the seller.

7) If the quality of goods is unsatisfactory, the customer sends the goods back to the seller.

8) If the supplier sends the wrong articles he asks the customer to sell them at a reduced price.

2. What do you think could happen if:

• a) imported goods were not insured?
• b) insurance companies didn’t demand the report on the damage?

3. Role simulation. Discuss in the form of the dialogue:

• 1) advantages of buying goods on the CIF terms for the seller;
• 2) the way of calculating the insurance premium;
• 3) the order of making a claim.

4. Speak on the following topics:

• 1) Main insurance documents.
• 2) Main types of goods insurance.
• 3) Main types of social insurance in the USA and Russia.

Математическая формулировка задачи.

В качестве содержимого изменяемых ячеек в этой задаче используется суточный объем производства краски В и суточный объем производства краски Н. Присвоим этим ячейкам имена Краска_В и Краска_Н.

По условию задачи нетрудно сформулировать ограничения на запасы продуктов П1 и П2:

Краска_Н+ 2* Краска_В <= 6;

2* Краска_Н + Краска_В <= 8.

Ограничения суточного спроса:

Краска_В <= Краска_Н+1; Краска_В <=2.

"Естественные" ограничения:

Краска_В >=0; Краска_Н >= 0.

Содержимое целевой ячейки Общая_Прибыль:

Общая_Прибыль = З* Краска_Н + 2* Краска_В; (тыс.$).

Задача заключается в том, чтобы максимизировать Общую Прибыль,подбирая содержимое изменяемых ячеек Краска_В и Краска_Н.

1.1. Оптимизация производства карамели

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство одной тонны карамели приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1т карамели соответствующего вида.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на 1т карамели	Общее кол-во сырья (т)
А	В	С
Сахарный песок Патока Фруктовое пюре	0,8 0,4 0	0,5 0,4 0,1	0,6 0,3 0,1	800 600 120
Прибыль от реализации 1т продукции (тыс.руб.)

Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам), обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализации. Исследовать, как изменятся эти объемы при изменении запасов сырья на фабрике.

1.2. Оптимизация объемов производства

Изделия 4-х типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.

Время обработки одного изделия (час)
Станок	Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10$ для станка 1 и 15$ для станка 2. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3, и 4 равны соответственно $65, $70, $55 и $45.

Найдите оптимальные объемы производства изделий, исходя из условия максимизации суммарной чистой прибыли. Исследуйте, как повлияет на оптимальное решение изменение cтоимости машино-часа для 1-ого и 2-ого станков.

1.3. Оптимизация использования субподрядных работ

Подразделение по изготовлению технологической оснастки производства моторов столкнулось с проблемой: самим производить несколько приспособлений для сборочного цеха или использовать субподрядчиков.

Любое из этих приспособлений требует использования операций литья, обработки и сборки. Операции литья для приспособлений А и В могут быть выполнены субподрядчиками, но литье для приспособления С требует специального оборудования, что исключает использование субподрядчиков.

Стоимость операций и цены на приспособления приведены ниже.

Каждое приспособление А требует 9 мин. для литья, 9 мин. обработки и 5 мин. для сборки. Для приспособления В это соответственно 15, 5 и 3 мин. Для приспособления С это 12, 12 и 3 мин.

Ресурсы производственного времени подразделения составляют;

• для операции литья - 12 000 мин в неделю;

• для операции обработки - 18 000 мин в неделю;

• для операции сборки -15 000 мин в неделю.

Стоимость операций по изготовлению приспособлений ($)
Тип приспособления	А	В	С
Литье (субподрядчики) Обработка Сборка Литье(собственное)	0.65 0.25 0.40 0.20	0.80 0.15 0.25 0.25	- 0.35 0.25 0.30
Цена приспособления ($)	2.25	2.35	2.35

Определите оптимальное размещение объемов производства приспособлений, доставляющее максимальную прибыль. Исследуйте, как повлияет на оптимальное решение изменение расценок на литье, выполняемое субподрядчиками. (Субподрядчики не используют ресурсы производственного времени и производственные мощности подразделения по изготовлению технологической оснастки производства).

1.4. Оптимизация размещения рекламы

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионные сети, а также центральное телевидение. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной $2000 долларов в месяц. Каждая минута радиорекламы об радиорекламы обходится в $5, каждая минута местной телерекламы - в $50, а минута центральной телерекламы - в $70. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута местной телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого минутой радиорекламы, а минута центральной телерекламы обеспечивает увеличение сбыта по сравнению с минутой радиорекламы в 40 раз.

Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и двумя видами телерекламы.

1.Фирма хотела бы использовать радиосеть по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Исследуйте, оправдано ли это пожелание фирмы?

2.Фирма рассматривает возможность дополнительного использования рекламы типа «бегущая строка» на центральном телевидении. Стоимость минуты такой рекламы на 30% меньше стоимости минуты обычной рекламы центрального телевидения, а сбыт меньше только на 10%. Возможно ли при этом уменьшить объем средств, выделяемых на рекламу в целом, при сохранении прежнего уровня сбыта?

1.5. Оценка номенклатуры изделий

Предприятие электронной промышленности выпускает пять моделей радиоприемников, причем модели 1-3 производятся на технологической линии А, а модели 4-5 на технологической линии В. Суточный объем производства линии А - 70 изделий, линии В - 95 изделий. Радиоприемники всех моделей используют однотипные элементы электронных схем в количествах, определяемых таблицей:

Модель приемника
Кол-во элементов
Прибыль от реализа ции 1-ого приемника ($)

Максимальный суточный запас используемых элементов равен 1800 единицам.

Определите оптимальные суточные объемы производства радиоприемников различных видов, доставляющие максимальную прибыль.

Предприятие планирует в дополнение к двум существующим запустить третью технологическую линию С по сборке радиоприемников с производительиостью 100 изделий в сутки. Какие модели приемников целесообразно производить на этой линии, в каких объемах и какой минимальный суточный запас элементов необходим для полной загруженности всех трех линий?

1.6. Оценка развития производства

В связи с закрытием неприбыльной производственной линии на предприятии образовался избыток производственных мощностей. Менеджер рассматривает возможность использования свободной производственной линии для производства одного или более из трех видов продуктов XI, Х2 или ХЗ. Ниже приведены затраты производственного времени на единицу каждого из этих продуктов.

Вид обработки	Затраты времени на единицу продукта (час)
XI	X2	X3
Фрезерование
Токарная
Шлифовальная

Доступные ресурсы времени обработки в неделю: фрезерование – 800 час, токарная - 480 час, шлифовальная - 320 час.

Коммерсанты оценивают, что они могут реализовать весь объем продукции видов XI и Х2, который может быть произведен, но как максимум 80 единиц продукции вида ХЗ в неделю.

Ожидаемая прибыль по видам продуктов на единицу продукции (удельная прибыль): XI - $20, Х2 - $6, ХЗ - $8.

1.Каково оптимальное распределение между видами производимой продукции, обеспечивающее максимальный объем реализации (в долларах)?

2.В каких пределах может изменяться удельная прибыль (по видам продуктов) без изменений найденного оптимального распределения и какие

значения этой прибыли обеспечат максимальное увеличение найденного объема реализации?

1.7. Оптимизация транспортной системы.

Решите задачу оптимизации распределения самолетов трех различных типов по четырем маршрутам, исходя из условия минимизации эксплуатационных расходов и потерь из-за неудовлетворенного спроса.

Характеристики парка самолетов и движения по авиалиниям, а также стоимостные характеристики авиаперевозок приведены в таблицах.

Убытки неудовлетворенного спроса на одного неперевезенного пассажира могут быть обусловлены двумя причинами:

• нет пассажира, желающего улететь ("перевозка" свободного места);

• есть пассажир, желающий улететь, но нет свободных мест.С экономической точки зрения эти причины эквивалентны.

Тип самолета	Вместимость (число пасс.)	Кол-во самолетов	Кол-во рейсов в сутки на маршруте
			?	?	?	?
			?	?	?	?
			?	?	?	?
Суточный пассажиропоток на маршруте

Тип самолета	Эксплуатационные расходы на 1 рейс по маршруту ($.)
Убыток от неудовле-творенного спроса (на одного неперевезенного пассажира)

Исследование системы проведите для двух вариантов организации перевозок:

1. каждый самолет может выполнять не более одного рейса в сутки

2. 2. каждый самолет может выполнять не более двух рейсов в сутки.

Авиакомпания планирует приобрести еще 2 самолета 2-ого типа, полагая, что убытки при этом сократятся на 10%. Оправданы ли эти планы компании для каждого из вариантов организации перевозок?

1.8. Оптимизация ассортимента молочного завода

Продукция молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 тонны молока, кефира или сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 час. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часа, а автоматы по расфасовке сметаны - в течение 16,25 час. Прибыль от реализации 1т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 тыс.руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить оптимальное соотношение между объемами производимой молочной продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Можно ли рассчитывать на увеличение прибыли, если отказаться от ограничения на производство молока? Каково максимальное увеличение прибыли? На сколько можно снизить цены на кефир и сметану, отказываясь от дополнительной прибыли?

1.9. Составление плана загрузки станков

На текстильном предприятии имеется три типа ткацких станков. На каждом могут вырабатываться 4 вида тканей: миткаль, бязь, ситец и сатин. Производительность каждого станка и затраты на изготовление тканей приведены в таблице.

Тип станка	Производительность станка (м/час)	Затраты на выработку1 м ткани ($)
Миткаль	бязь	ситец	сатин	миткаль	бязь	ситец	Сатин
1 2 3	24 12 8	30 15 10	18 9 6	42 21 14	0,2 0,3 0,6	0,1 0,2 0,3	0,3 0,4 0,5	0,1 0,1 0,2
Цена 1 м ткани ($)

Учитывая, что фонд рабочего времени каждого типа станков соответственно равен 90, 220 и 180 станко-часов, составить такой план их загрузки, при котором общие затраты, обусловленные изготовлением 1200 м миткаля, 900 м бязи, 1800 м ситца и 840 м сатина, являются минимальными. Для найденного плана определить прибыль фабрики.

Найти оптимальный план выпуска тканей, определенный из условий получения максимальной прибыли при отказе от ограничений на объемы выпускаемой продукции.

Сравнить эти планы и оценить упущенную выгоду, связанную с ограничениями на ассортимент производимой продукции.

1.10. Использование сверхурочных работ

При изготовлении изделий двух видов осуществляется последовательная обработка соответствующих заготовок на двух различных станках. Каждый станок может использоваться для производства изделий по 8 часов в сутки, однако этот фонд времени можно увеличить на 4 часа за счет сверхурочных работ. Каждый час сверхурочного времени требует дополнительных расходов: для станка 1 это $5, для станка 2 - $7. Производительность станков и прибыль в расчете на одно изделие приведены в таблице.

Станок	Производительность станков (изделие/час)
Изделие 1	Изделие 2
Удельная прибыль	6$	4$

Требуется определить объемы производства изделий каждого вида и уровень использования сверхурочного времени на каждом из станков, обеспечивающие получение максимальной чистой прибыли.

Увеличит ли прибыль включение в план производства дополнительного вида изделий (Изделия 3) на прежних производственных мощностях? Изделие имеет удельную прибыль $5 и требует использования только 2-го станка с производительностью 7 изделий в час.

1.11. Выбор варианта раскроя

Имеются одинаковые заготовки, которые могут быть раскроены тремя способами. Из имеющихся заготовок нужно получить не менее 10 деталей 1-ого типоразмера, не менее 8-ми деталей 2-ого типоразмера и не менее 10-ти деталей 3-его типоразмера.

Способы раскроя определяются матрицей вида:

2 1 3

А=[a_ij]= 2 2 1

1 3 0

Здесь а_ij - количество деталей типоразмера i, получаемое из одной заготовки путем ее раскроя способом j.

Количество заготовок, раскраиваемых каждым способом, должно быть целым и не превышать 4-х. Отходы от раскроя одной заготовки для каждого из способов составляют 4, 5 и 5 (усл.единиц).

Предложить вариант раскроя с минимальными суммарными отходами.Определить величину этих отходов.

Фирма предполагает продавать выкроенные детали по ценам $4, $6 и $2,5 соответственно для 1-ого, 2-ого и 3-его типоразмера. При этом потери от процедуры раскроя оцениваются величиной $0,3 на условную единицу отходов. Оптимизируйте процесс раскроя, исходя из соображений получения максимальной прибыли.

2. Задачи смеси

Как правило, в таких задачах требуется определить такой состав смеси различных продуктов, который удовлетворяет заданным ограничениям по ее качеству (например, по калорийности, ластичности, содержанию питательных веществ) и вместе с тем определяет смесь минимальной стоимости. Этот класс задач имеет и другое название - "задачи о диете". Для таких задач характерно наличие процентных (или долевых) ограничений.

В качестве примера приведем математическую формулировку задачи «Определение оптимального состава топливной смеси».

Фирма хочет использовать для своих грузовиков смешанное топливо с целью сокращения транспортных расходов. Планируется смешивать два вида топлива (А и В). Для обеспечения всех грузовиков фирмы в течение следующего месяца необходимо не менее 3000 галлонов топлива. Фирма располагает хранилищем для топлива емкостью 4000 галлонов. Возможно приобретение до 2000 галлонов топлива А и 4000 галлонов топлива В.

Смешанное топливо должно иметь октановое число не меньше 80. Октановое число смеси является взвешенным средним октановых чисел смешиваемых компонент, причем веса пропорциональны соответствующим смешиваемым объемам (при смешивании компонент объем смеси равен сумме объемов компонент):

ОЧсм = В1*ОЧа + В2*ОЧв; В1= Vа/(Vа+Vв); В2=Vв/(Vа+Vв).

Здесь ОЧсм, ОЧа, ОЧв - октановые числа соответственно смеси, топлива А и топлива В, Vа, Vв - объемы смешиваемых топлив А и В.

Топливо А имеет октановое число 90 и стоимость $ 1.20 за галлон, топливо В имеет октановое число 75 и стоимость $0.90 за галлон.

Определите смесь минимальной стоимости.