Таблична форма сітьової моделі

j   i	Послідуючі події
Попередні події			+	+
			+		+
				+	+
					+	+
						+

В таблиці 1.4. позначка „+” зазначає, що у даній сіті існує робота під номером зазначеним на перетині подій (наприклад: 0-1, 0-2, тощо).

Таблична форма сіті застосовується для перевірки вірності нумерації подій в сіті.

Перевірка правильності нумерації подій провадиться методом діагоналі, тобто, якщо події на сітьовому графіку пронумеровані вірно, то в табличній формі помітки фіксованих робіт будуть знаходитись вище проведеної діагоналі в правої частині таблиці.

Цифрова форма моделі представлена послідовністю робіт сітьового графіку і записується парою цифр і–j, існуюча послідовність робіт розташовується в порядку зростання номеру події і, а при однаковому їх значенні – в порядку зростання номеру події j.

Представлений на рисунку 1.9 сітьовий графік може бути записано у наступній цифровій формі:

0-1; 0-2; 1-2; 1-4; 2-3; 2-4; 3-4; 3-5; 4-5

В управлінні сітьова модель застосовується на стадії планування та оперативного управління (тобто регулювання).

При застосуванні сітьової моделі вирішуються наступні задачі:

- визначення складу комплексу робіт, взаємозалежність та послідовність їх виконання;

- оцінка часу виконання кожної роботи;

- розрахунок параметрів сітьових моделей;

- аналіз та оптимізація сіті на основі перерозподілу використання залучених ресурсів.

Одним з важливих етапів аналізу певного комплексу робіт є визначення тривалості робіт.

Тривалість роботи залежить від її трудомісткості та кількості виконавців і розраховується за допомогою формули:

, , (1.1)

де Н_l – трудомісткість l – ї роботи, а Р_l – мінімально необхідна кількість виконавців l – ї роботи.

Але, якщо для деяких робіт відсутні норми трудомісткості, то для визначення часу виконання роботи застосовується метод експертних оцінок.

Тобто спеціалісти-експерти визначають декілька оцінок можливої тривалості роботи: t _{ij min} – мінімальний час виконання роботи і–j при найбільш сприятливих умовах (оптимістична оцінка); t _{ij max} – максимальний час виконання роботи і–j, що фіксується при найбільш несприятливих умовах (песимістична оцінка); t _{ij н.в.} – найбільш вірогідний час виконання роботи і–j (реалістична оцінка).

В залежності від функції розподілу тривалості роботи та кількості отриманих оцінок (дві або три) розрахунок очікуваної тривалості роботи здійснюється за формулами:

(1.2)

(1.3)

Отримана таким чином тривалість робіт використовується для розрахунку параметрів сітьових моделей.

Тривалість робіт зазначається на сітьовому графіку над стрілкою даної роботи у вигляді числа, яке відображає час її виконання.

Основними параметрами сітьової моделі є критичний шлях, резерви часу подій та резерви часу робіт.

Для розрахунку даних параметрів на представленому на рисунку 1.9 сітьовому графіку, з вже пронумерованими подіями, зазначимо над кожною роботою її тривалість (тривалість зазначається, як правило, в днях) (рис. 1.10).

6

2

5

3 4

7

Рис. 1.10. Графічне зображення сіті з тривалістю виконання робіт

Для визначення критичного шляху робіт даного комплексу необхідно зазначити повні шляхи і розрахувати їх тривалість. Повний шлях найбільшої тривалості є критичним.

Тривалість кожного з повних шляхів визначається за формулою:

, (1.4)

де L_n – повний шлях п, ;

t_l – тривалість роботи l, що входить до складу повного шляху L_n, .

Таким чином, повні шляхи даної сітьової моделі та їх тривалість наступні:

L₁: 0-1, 1-4, 4-5 t(L₁)= 2+1+6=9 дн.

L₂: 0-1, 1-2, 2-4, 4-5 t(L₂)= 2+0+5+6=13 дн.

L₃: 0-1, 1-2, 2-3,3-4, 4-5 t(L₃)= 2+0+7+0+6=15 дн.

L₄: 0-1,1-2, 2-3, 3-5 t(L₄)= 13 дн.

L₅: 0-2, 2-4, 4-5 t(L₅)= 14 дн.

L₆: 0-2, 2-3, 3-4, 4-5 t(L₆)= 16 дн.

L₇: 0-2, 2-3, 3-5 t(L₇)= 14 дн.

Після розрахунку довжини кожного шляху, можливо визначити загальну тривалість усього комплексу робіт (Т_заг), він дорівнює тривалості шляху робіт на виконання яких, потребується максимальна кількість часу:

Т_заг = Т_Lmax, (1.5)

де L_max – повний шлях максимальної довжини.

Таким чином, загальний час виконання даного комплексу робіт дорівнює: Т_заг = t(L₆)= 16 дн.

Шлях L₆ має найбільшу тривалість і визначає мінімальний час виконання усього комплексу робіт t(L₆)= 16 дн.

Виходячи з визначення критичного шляху, можна зазначити, що повний шлях максимальної довжини і є критичний шлях:

Т_кр = t(L_max) (1.6)

тобто

L_кр = L_max. (1.7)

У даній моделі довжина критичного шляху дорівнює шістнадцять днів: Т_кр = t(L_max) = t(L₆ ) =16 днів. Тобто весь проект (комплекс робіт) буде виконано за цей визначений період.

Роботи критичного шляху відокремлюють подвійними стрілками (рис.1.11).

6

2

5

3 4

7

Рис. 1.11. Графічне зображення сіті з визначенням критичного шляху

Критичний шлях не має резерву часу. Усі інші повні шляхи мають резерви часу, які розраховуються наступним чином:

R(L_n)=Т_кр - t(L_n) (1.8)

Відповідно резерви часу повних шляхів сіті дорівнюють:

R(L₁)= 16-9=7 дн.; R(L₂)= 3 дн.; R(L₃)= 1 дн.; R(L₄)= 3 дн.; R(L₅)= 2 дн.; R(L₇)= 2 дн.

Важливим етапом у визначені параметрів сітьової моделі є розрахунок резервів часу подій.

Резерв часу події (R_i) складається з моментів настання події, які розділяються на ранній строк настання і – ї події (Т_і ^р) та пізній строк настання і – ї події (Т_і ^п).

Ранній строк настання події дорівнює значенню найбільш тривалого шляху із вихідної (нульової) події до даної події і розраховується виходячи з раннього строку настання попередньої і –ї події та тривалості роботи яка їх зв’язує і–j за наступною формулою:

, , (1.9)

де t_ij – тривалість роботи, що знаходиться між подіями і та j,

Т_і^р – ранній строк настання попередньої і – ї події.

Пізній строк настання і – ї події відповідає різниці між значенням довжини критичного шляху і значенням довжини максимального шляху від і – ї події до завершальної.

Пізній строк настання події визначається починаючи з завершальної події, значення пізнього строку настання якої дорівнює ранньому строку її настання.

Розраховується пізній строк настання і – ї події виходячи з пізнього строку настання послідуючої j -ї події і тривалості роботи яка їх пов’язує (і - j) за формулою:

, , (1.10)

де T_jⁿ – пізній строк настання j – ї події.

Резерв часу події визначається різницею між пізнім та раннім строками її настання:

R_i=T_iⁿ – T_i^p. (1.11)

У зв’язку з тим, що у подій, які входять до складу критичного шляху, однакові значення ранніх і пізніх строків настання (T_iⁿ = T_i^p), то їх резерви часу дорівнюють нулю.

Розрахунки резервів часу подій заносяться на сітьовий графік. Подія на сітьовому графіку відображається у вигляді кола, яке розподіляється на чотири сектори. У верхньому секторі зазначають номер події, що розглядається, у лівому секторі – значення раннього строку настання цієї події, у правому секторі – значення пізнього строку настання події, у нижньому секторі – номер попередньої події від якої надходить шлях найбільшої довжини (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Відображення усіх необхідних параметрів події на сітьовому графіку

Також необхідним етапом при сітьовому моделюванні є визначення резервів часу робіт. Робота характеризується двома резервами часу: повний та вільний.

Повний резерв часу роботи це максимальний час, на який можливо затримати початок цієї роботи або збільшити її тривалість, при цьому не змінюючи ранній строк настання завершальної події усього комплексу робіт.

Повний резерв часу роботи i – j розраховується за формулою:

r_ijⁿ =T_jⁿ – T_i^p – t_ij, (1.12)

де T_jⁿ – пізній строк настання кінцевої події j роботи i-j;

T_i^p – ранній строк настання початкової події i роботи i-j;

t_ij – час виконання роботи i-j.

Вільний резерв часу роботи це максимальний час, на який можливо затримати початок цієї роботи або збільшити її тривалість, при умові, що ранні строки усіх наступних подій сіті не змінюються.

Вільний резерв часу роботи i–j розраховується за формулою:

r_ij^в =T_j^р – T_i^p – t_ij, (1.13)

де T_j^р – ранній строк настання кінцевої події j роботи i-j;

T_i^p – ранній строк настання початкової події i роботи i-j;

t_ij – час виконання роботи i-j.

Після відповідних розрахунків повного та вільного резерву часу роботи, їх значення відображають на сітьовому графіку в прямокутниках під стрілкою, що зазначає дану роботу (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Схематичне відображення параметрів роботи на сітьовому графіку:

r_ij^в – вільний резерв часу роботи i-j;

r_ijⁿ – повний резерв часу роботи i-j.

Отримані при розрахунку сітьової моделі комплексу робіт параметри використовуються для її аналізу з метою приведення її у відповідність з існуючими обмеженнями (термінами виконання проекту або постачання чи можливість використання ресурсів).

Існують два види задач планування комплексу робіт з метою оптимального розподілу ресурсів:

1. Мінімізація втрат ресурсу у визначений термін;

2. Мінімізація тривалості комплексу робіт при обмеженні залучених ресурсів.

Для оптимального розподілу ресурсів задіяних у комплексі робіт застосовують лінійний графік залежності робіт комплексу та графік завантаження і розподілу ресурсів по операціях. На основі цих графіків розробляється математична модель оптимального розподілу ресурсів на протязі виконання усього комплексу робіт (модель оптимізації лінійного графіка процесу).

Кількість залучених ресурсів, при виконанні різноманітних комплексів робіт, велика множина. Це і енергоресурси, і різні види матеріальних ресурсів, і трудові ресурси, і фінансові ресурси. Від їх оптимального використання залежить ефективність роботи підприємства, але ефективність роботи залежить також, від їх рівномірного використання в часі.

На використання енергоресурсів кожне підприємство має встановленні ліміти. Існують ліміти на використання електроенергії, газу, води. Перевищення їх змушує від підприємств сплати штрафів, тобто призводять до надлишкових фінансових витрат. При розробці плану комплексу робіт, за допомогою графіка розподілу ресурсів, можливо визначити необхідну кількість кожного виду ресурсу на кожний період часу, на протязі усього терміну виконання комплексу робіт. Це дозволить виявити пікові ситуації по надмірному використанню ресурсів у деякі моменти часу, і розподілити виконання робіт таким чином, щоб залучення ресурсів було рівномірним, тобто розподіл ресурсів на протязі всього процесу став оптимальним.

Теж саме відноситься і до усіх інших ресурсів. Наприклад, необхідність у великій кількості трудових ресурсів в деякі періоди часу, при не оптимальному розподілі графіка виконання робіт, потребує залучення максимально необхідної кількості кадрів, бо виконання робіт в ті періоди буде не можливе, а в моменти часу з мінімально необхідною кількістю залучення трудових ресурсів, надлишкова кількість ресурсів буде не завантажена, але підприємство вимушено сплачувати заробітну плату усім працівникам.

Що стосується фінансових ресурсів, то не викликає сумніву, що великий обсяг одночасно вилучених з рахунку фінансових коштів, або залучених кредитних коштів, призводить до подальших проблем в роботі підприємства.

Для того, щоб оптимально розподілити ресурси, поперед усім необхідно проаналізувати розроблені для даного комплексу робіт лінійний графік та відповідний йому графік розподілу ресурсів по операціях. В ході аналізу розраховуються основні параметри потреби в ресурсах для виконання комплексу робіт.

Застосування методики лінійних графіків дозволяє вирішувати наступні задачі, що пов’язані з управлінням процесом:

- визначення складу комплексу робіт;

- взаємозв’язок і послідовність виконання робіт;

- оцінка часу виконання кожної роботи;

- визначення критичного шляху;

- оцінка кількості ресурсу витраченого на кожну роботу;

- визначення тривалості усього комплексу робіт;

- аналіз та оптимізація лінійного графіка процесу.

Для засвоєння методики побудови лінійного графіку див. навчальний посібник „Методи сітьового моделювання” ст. 16-21 і ст. 36-46.

Розглянемо перший вид задач планування комплексу робіт з метою оптимального розподілу ресурсів, тобто задачі спрямовані на мінімізацію втрат ресурсу у визначений термін.

Планування комплексу робіт з метою оптимального розподілу