Задание 3. Если совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то можно определить, какая часть вариации обусловлена признаком-фактором

Если совокупность разбита на группы по какому-либо признаку, то можно определить, какая часть вариации обусловлена признаком-фактором, положенным в основание данной группировки, а какая – всеми прочими неучтенными факторами. Для этого необходимо воспользоваться разложением общей дисперсии на составляющие: межгрупповую и среднюю из внутригрупповых. Правило сложения дисперсий имеет вид:

, (2)

где – общая дисперсия; – средняя из внутригрупповых дисперсий; – межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

, (3)

где – общая средняя арифметическая для изучаемой совокупности в целом. В нашем случае она равняется 1361,2 тыс. тонн (табл. 2).

– размер выборки.

Используя данные табл. 1 об объеме валового сбора за 2011 год, рассчитаем общую дисперсию:

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую в результате действия неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Исчисляется следующим образом:

, (4)

где – внутригрупповая дисперсия (дисперсия по отдельной группе), рассчитывается как:

, (5)

где – величина i-го признака в конкретной группе;

– средняя величина признака в данной группе.

Находим внутригрупповую дисперсию по каждой группе (при расчетах задействованы табл. 1 и 2):

= 1177879,8.

.

Далее рассчитываем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

.

Определим межгрупповую дисперсию. Она характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Рассчитывается по формуле:

, (4)

где и – соответственно средние и численности по отдельным группам.

Расчеты производятся на основе данных, представленных в табл. 2.

.

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий:

.

Полученный результат соответствует общей дисперсии, исчисленной обычным способом.

Опираясь на правило сложения дисперсии, можно определить какая часть общей дисперсии складывается под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Для этого определим долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, т.е. рассчитаем коэффициент детерминации:

Таким образом, размер посевной площади оказывает значительное влияние на вариацию валового сбора сахарной свеклы. Другими словами, вариация объема валового сбора на 88,5% обусловлена величиной посевной площади, а на 11,5% всеми прочими неучтенными факторами.

Для качественной оценки тесноты связи используем эмпирическое корреляционное отношение:

. (5)

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно 0, то есть групповые средние будут равны между собой и межгрупповая вариация отсутствует. Это значит, что группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение равно 1, то есть дисперсия групповых средних равна общей дисперсии и внутригрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака.

Чем ближе значение корреляционного отношения к 1, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе корреляционного отношения можно воспользоваться шкалой Чеддока.

В нашем случае: что свидетельствует о весьма тесной связи между размером посевной площади и объемом валового сбора сахарной свеклы.