Погашение ипотечной ссуды

Ипотечную ссуду выдают под залог имущества (земли, дома и т.п.) на длительный срок. В случае невозврата ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собственностью кредитора. Здесь мы рассмотрим традиционную ипотечную ссуду, которая погашается равными ежемесячными выплатами и на которые также ежемесячно начисляются проценты.

Пусть размер ссуды D, выдана она на срок n лет под годовую ставку сложных процентов i. Равные ежемесячные выплаты размером R образуют ренту с частотой платежей и начислением процентов 12 раз в году. Ее наращенная сумма к концу k -го года составит R ×s(12k, i /12) и для определения R имеем уравнение

R s (12 n, i /12) = D (1+ i /12)^{12 n} ,

где n - срок ипотечной ссуды. Легко определить на конец любого года остаток, который еще предстоит выплатить. Определим остаток R_k на конец k -го года. К концу k -го года наращенная величина ссуды есть D (1+ i /12)^{12 k}, а наращенная величина выплат ренты равна R × s (12 k, i /12). Значит остаток R_k = = D (1+ i /12) ^{12 k} - R × s (12 k, i /12).

Пример. Пусть ссуда в $100 000 выдана на 10 лет под 3 % годовых. Определим ежемесячную выплату и остаток к концу 5-го года.

Решение. Определяем величину коэффициента s (120, 3/12), (например, с помощью компьютерной программы Mathcad):

s (120, 3/12) = [(1+ 0,0025)¹²⁰ - 1]/0,0025 = 139,74.

Ежемесячную выплату вычислим по формуле (26):

R = 100000 ×1,162/139,74 = 831,544.

Определим теперь остаток к концу 5 - го года. Наращенная величина ссуды к этому моменту равна 100000× (1+ 0,0025)⁶⁰ = 116 200. Наращенная величина произведенных выплат есть

715,61× S (60; 0,25) = 864,647,

следовательно, остаток к концу 5- го года равен

R ₅ = 864,647 - 831,544 = 33,103.

Задачи

6.1 Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить равными срочными уплатами в течение 5 лет. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Определите величину ежегодной выплаты.

6.2 Долг в размере 100 тыс. руб. получен под 8 % годовых на 4 года. Одновременно с получением ссуды для ее погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы, На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.Ответ: 31201,18 руб.

6.3 Фермер взял в банке 500 тыс. руб. под 10 % годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

6.4 Решите предыдущую задачу при условии, что на деньги, вкладываемые в страховой фонд, начисляются 8 % годовых.

6.5 Владелец магазина получил в банке ссуду $20 000 сроком на 4 года. Банковская процентная ставка 10 % годовых. Для погашения ссуды владелец магазина создал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j ₄=5 %. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?