Рівняння для ймовірностей станів системи масового обслуговування

Для того, щоб здійснити аналіз функціонування СМО з найпростішими потоками подій (переходів з одних станів в інші), достатньо знати стани, в яких може вона перебувати, і інтенсивності переходів з кожного стану в інші. Допустимо, що маємо СМО, схема якої зображена на рис. 7.4, де 1,2 і 3 означені можливі стани системи, стрілками показані напрями переходів системи з кожного стану в інші, біля стрілок наведені інтенсивності відповідних переходів.

Завдання полягає в тому, щоб встановити, як пов’язані між собою і як залежать від інтенсивностей переходів ймовірності станів системи. У відповідності з означенням станів системи означимо їх ймовірності р1, р2, р3 і визначимо, як залежить ймовірність р1 від ймовірностей р2, р3 і інтенсивностей переходів. Для цього визначимо ймовірність того, що система в момент часу t+Δt перебуватиме у стані 1. Очевидно, вона може бути в цьому стані в обумовлений вище момент за однієї з двох умов:

в момент t система перебувала в стані 1 і протягом малого проміжку часу Δt не перейшла в інший стан (у стан 2);

в момент t система перебувала у стані 2 і 3, але протягом часу Δt перейшла у стан 1 (завдяки ординарності потоку переходів за гранично малий проміжок часу Δt можливий тільки один перехід в інший стан).

Визначимо ймовірність кожної з означених двох умов.

Якщо система перебуває у стані 1, то ймовірність її переходу у стан 2 протягом часу Δt (умовна ймовірність переходу)

.

Тоді умовна ймовірність непереходу системи зі стану 1 у стан 2, тобто ймовірність того, що система, перебуваючи в момент t у стані 1, за час Δt не перейшла у стан 2,

.

Отже, ймовірність того, що система в момент t перебувала у стані 1 і за час Δt не перейшла в інший стан,

,

де p1(t) – ймовірність перебування системи у стані 1 в момент t.

Ймовірність того, що система в момент t перебувала у стані 2 і за час Δt перейшла у стан 1,

,

де р2(t) – ймовірність перебування системи у стані 2 в момент t.

Ймовірність перебування системи в момент t у стані 3 і переходу її за час Δt у стан 1

.

Тоді ймовірність р1(t+Δt) перебування системи у стані 1 в момент t+Δt

_.

З останнього рівняння одержимо:

.

А вважаючи Δt→0, можемо записати:

.

Аналогічно можемо одержати:

Останні три диференційні рівняння описують можливі стани розглянутої СМО, кількість рівнянь дорівнює кількості можливих станів системи. Лівою частиною кожного рівняння є похідна ймовірності даного стану за часом, у правій частині маємо суму добутків інтенсивностей переходів у цей стан з інших і ймовірностей цих інших станів, а від цієї суми віднімаються добутки ймовірності даного стану і інтенсивностей переходів з нього в інші стани. Така структура правої частини рівняння зрозуміла: перехід, що спрямований до даного стану, збільшує його ймовірність (точніше, швидкість зростання цієї ймовірності, тобто лівої частини рівняння) і навпаки.

Наведені вище рівняння стану розглянутої СМО є системою так званих однорідних диференційних рівнянь, тобто рівнянь, які не містять у собі вільних членів, у зв’язку з чим така система рівнянь не може бути розв’язана. Для забезпечення її розв’язання до неї включають так зване рівняння нормування, ліва частина якого є сумою ймовірностей всіх можливих станів СМО і тому дорівнює одиниці. Для розглянутої вище системи це рівняння має таку форму:

.

Оскільки ж при цьому загальна кількість рівнянь в їх системі має дорівнювати кількості змінних (невідомих), то, враховуючи рівняння нормування, одне, будь-яке з вище одержаних рівнянь виключають з системи. Отже, для наведеної СМО маємо систему рівнянь:

(7.1)

У СМО, як і в будь-якій динамічній системі, розрізнюють перехідний і усталений режими функціонування. Наприклад, аеродром як СМО може деякий час не діяти у зв’язку з відповідними умовами погоди. Допустимо, що після такого періоду аеродром почав діяти, при цьому інтенсивність прильоту повітряних суден достатньо висока і має постійне значення. Тоді може виникнути така ситуація, що кількість повітряних суден, які одночасно перебувають у районі аеродрому, з часом буде збільшуватися. Розглядаючи аеродром як СМО і вважаючи за її стан кількість суден на обслуговуванні, можемо сказати, що у зазначених вище умовах ймовірність того чи іншого стану системи з часом змінюється. Такий режим функціонування системи називають перехідним. Але якщо той же аеродром діяв достатньо довго при постійних значеннях інтенсивності прильоту λ суден і потенційної інтенсивності обслуговування (посадок) μп, а також виконувалась умова λ<μп, то матимемо усталений (стаціонарний) режим його функціонування, коли ймовірність того чи іншого стану такої СМО не залежить від часу. При цьому система не залишається в одному стані, її стани змінюються, але з часом процес таких змін повторюється (у імовірнісному значенні). Отже, при стаціонарному (усталеному) режимі функціонування СМО ймовірності її станів не залежать від часу, тобто є постійними величинами, в результаті чого наведені вище диференційні рівняння (7.1) для станів СМО перетворюються у лінійні рівняння:

У цій системі рівнянь змінними (невідомими) є, як і раніше, ймовірності р1, р2, р3.