Специальные функции

К специальным функциям относятся рассмотренные ранее сферические функции, шаровые функции, полиномы Лежандра, функции Бесселя. Кроме этого, важное значение при решении задач математической физики играют такие специальные функции как полиномы Эрмита и функции Лагерра.

Полиномы Эрмита определяются формулой:

а функции Лагерра находятся из формулы:

Эти функции используется при решении задач о движении электрона в кулоновом поле, о распределении электромагнитных волн вдоль длинных линий и т.д.

Специальные функции обладают свойством ортогональности.

Ортогональными на интервале называются функции, для которых справедливо равенство:

где — вес, .

Ортогональность специальных функций позволяет при решении широкого класса задач математической физики прибегать к разложению в ряды по этим функциям.

Вопросы для самопроверки

1. В каком виде ищется решение задачи Коши о колебаниях струны методом Даламбера?

2. В каком виде ищется решение дифференциального уравнения методом Фурье?

3. В каком из методов решение ищется в виде суперпозиции бегущих волн?

4. В чём заключается физический смысл решения задачи о колебаниях закреплённой струны методом Фурье?

5. Как образуются стоячие волны?

6. На какие характеристики колебаний струны влияют начальные условия?

7. От каких величин зависит частота основной гармоники колебаний закреплённой струны?

8. Можно ли применять метод Фурье для решения задачи Коши о распространении тепла в бесконечном стержне?

9. Какое решение уравнения теплопроводности называют фундаментальным? В чём заключается его физический смысл?

10. В чём заключается физический смысл решения задачи Коши об охлаждении бесконечного стержня?

11. Какие функции называют гармоническими?

12. Что является обобщением ряда Фурье для всей числовой прямой?

13. К разложению в какой ряд сводится решение уравнения Лапласа в области со сферической симметрией?

14. Сформулируйте задачу Дирихле для шара.

15. К разложению в какой ряд сводится решение уравнения Лапласа в области с цилиндрической симметрией?

16. В чём заключается идея метода функции Грина?

17. Перечислите примеры специальных функций.

18. Какие функции называют ортогональными?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баврин, И.И. Высшая математика: Учеб. для студ. пед. вузов по направлению «Естественнонаучное образование / И.И. Баврин. – М.: Академия, 2002. – 616 с.

2. Белевец, П.С. Задачник–практикум по методам математической физики: Учеб. пособие / П.С. Белевец, И.Г. Кожух. – Мн.: Выш. шк., 1988. – 108 с.

3. Болсун, А.И., Методы математической физики: Учеб. пособие / А.И. Болсун, В.К. Гронский, А. А. Бейда. – Мн.: Выш. шк., 1988. – 199 с.

4. Бугров, Я.С. Высшая математика: учеб. для вузов. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский; под ред. В.А. Садовничего. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

5. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики: учеб. для вузов / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. – М.: Физматлит, 2003. – 400 с.

6. Высшая математика. Специальные разделы / В.И. Афанасьев, О.В. Зимина, А.И. Кириллов и др.; под ред. А.И. Кириллова. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.

7. Голоскоков, Д.П. Уравнения математической физики: решение задач в системе Maple: учебник для вузов / Д. П. Голоскоков. – СПб.: Питер, 2004. – 544 с.

8. Мантуров, О.В. Курс высшей математики: Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятностей: Учеб. для студентов вузов / О.В. Мантуров. – М.: Высшая школа, 1991. – 448 с.

9. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие / Н.М. Матвеев. – СПб.: Лань, 2003. – 832 с.

10. Михлин, С.Г. Курс математической физики: учебник для студентов ун-тов / С.Г. Михлин. – СПб.: Лань, 2002. – 576 с.

11. Несис, Е.И. Методы математической физики: учеб. пособ. для студентов физико-математических факультетов пед. ин-тов / Е.И. Несис. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.

12. Олейник, О.А. Лекции об уравнениях с частными производными: учеб. для студ. вузов / О.А. Олейник. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. – 260 с.

13. Очан, Ю.С. Сборник задач по методам математической физики: учеб. пособие для студентов втузов / Ю.С. Очан. – М.: Высшая школа, 1973. – 192 с.

14. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для ст-ов втузов / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.

15. Полянин, А.Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики: учеб. пособие для студ. /
А.Д. Полянин, В.П. Зайцев, А.И. Журов. – М: Физматлит, 2005. – 256 с.

16. Полянин, А.Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев. – М.: Физматлит, 2002. – 576 с.

17. Сборник задач по уравнениям математической физики: для студентов физико-математических специальностей вузов / под. ред. В.С. Владимирова. – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.

18. Свешников, А.Г. Лекции по математической физике: учеб. пособие для вузов / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. – М.: Изд-во МГУ – Наука, 2004. – 414 с.

19. Свешников, А.Г. Уравнения математической физики: учебное пособие для студентов вузов / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов,
В.В. Кравцов. – М.: Изд-во МГУ – Наука, 2004. – 416 с.

20. Шарма, Дж.Н. Уравнения в частных производных: учебник / Дж.Н. Шарма, К. Сингх; Под. ред. А.Г. Кюркчана. – М: Техносфера, 2002. – 320 с.

21. Шипачев, В.С. Высшая математика: Учеб. для студ. вузов / В.С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2002. – 479 с.

22. Шипачев, В.С. Основы высшей математики: учеб. пособие для вузов / В.С. Шипачев., под. ред. А. Н. Тихонова. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

23. Шубин, М.А. Лекции об уравнениях математической физики: для студентов, аспирантов, научных работников – математиков и физиков / М.А. Шубин. – М: МЦНМО, 2003. – 303 с.

24. Шубин, М.А. Математический анализ для решения физических задач / М.А. Шубин. – М.: Изд-во Моск. центра непрерыв. математ. образования, 2003. – 40 с.

Учебное издание

Иванов Юрий Владимирович