Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах методом Фурье

Полиномы Лежандра. Понятие о сферических
и шаровых функциях

Решение большого числа краевых задач математической физики приводит к решению уравнения Лапласа:

(4.4.1)

Ему удовлетворяют, например, потенциал электростатического поля в той области пространства, где отсутствуют заряды. К уравнению Лапласа приводится уравнение теплопроводности для стационарного распространения температуры. При определённом граничном условии, задающем функцию на некоторой замкнутой поверхности, уравнение Лапласа имеет однозначное решение.

Функции, удовлетворяющие решению уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

В зависимости от формы поверхности, на которой задано граничное условие, для решения уравнения Лапласа используют различные системы координат. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в сферической системе координат. Для этого вначале определим вид уравнения Лапласа в сферических координатах.

В криволинейной системе координатах оператор Лапласа имеет вид:

где , , — криволинейные координаты, , , — коэффициенты Ламе. В сферических координатах положение точки в пространстве задаётся величинами , , . Соответственно, , , , а коэффициенты Ламе ; ; Подставляя соответствующие координаты и значения коэффициентов Ламе в формулу для нахождения лапласиана в криволинейных координатах, получим уравнение Лапласа сферических координатах в следующем виде:

(4.4.2)

Будем искать его решение методом Фурье. Представим искомую функцию в виде произведения двух функций:

(4.4.3)

Подставим (4.4.3) в уравнение (4.4.2):

Разделим переменные:

(4.4.4)

где – некоторая постоянная (параметр разделения).

Из полученного выражения следует, что

(4.4.5)

(4.4.6)

Решение (4.4.6) также будем искать методом разделения переменных:

(4.4.7)

Подставляя (4.4.7) в уравнение (4.4.6), получим:

Разделим переменные, умножив обе части равенства на :

(4.4.8)

где — параметр разделения.

Из (4.4.8) получаем уравнения:

(4.4.9)

(4.4.10)

Найдём решение (4.4.9). Полагая, что , получим решение (4.4.9) в показательной форме:

(4.4.11)

где и — некоторые постоянные.

Из свойств сферических координат следует, что функция должна удовлетворять условию цикличности: . Следовательно, m должно являться целочисленным:

Для нахождения решения уравнения (4.4.10) введём обозначения: , . С учётом замены уравнение (4.4.10) примет вид:

(4.4.12)

Уравнение (4.4.12) называется уравнением Лежандра. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение уравнения Лежандра, ограниченное на интервале [–1,1] существуют только при , где — целое. Следовательно:

(4.4.13)

Решение этого уравнения имеет вид:

(4.4.14)

где — присоединённые полиномы Лежандра. Присоединённые полиномы Лежандра находятся по формулам Родрига:

,

(4.4.15)

(4.4.16)

где — полиномы Лежандра.

Найдём решение уравнения (4.4.5): . Раскрывая скобку, получим

Будем искать решение в виде Тогда . Подставляя производные в уравнение, получим:

После упрощения получим выражение:

Так как , то Следовательно, .

Таким образом, решение уравнение (4.4.5) можно представить в виде:

(4.4.17)

где — некоторая постоянная.

С учётом полученных решений (4.4.11) и (4.4.14), можно сделать вывод, что решению уравнения (4.4.7) удовлетворяют функции:

(4.4.18)

Функции вида (4.4.18) называются сферическими функциями.

Частными решениями уравнения Лапласа, согласно формуле (4.4.3), являются функции вида:

(4.4.19)

Функции вида (4.4.19) называются шаровыми функциями.

Таким образом, общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах имеет вид: