Условие корректности

Как отмечалось ранее, для однозначного решения дифференциального уравнения в частных производных необходимо присоединить к нему дополнительные условия — начальные и граничные. В зависимости от того, какие из условий могут быть заданы, задачи математической физики делятся на три типа: задача Коши, смешанная задача и краевая задача.

1. Задача Коши. Если процесс протекает в бесконечном интервале (бесконечная струна, бесконечный стержень), то краевые условия не задаются и задача сводится к задаче только с начальными условиями — задаче Коши.

2. Смешанная задача. Если рассматривается задача для конечного промежутка, то должны быть заданы и начальные и граничные условия. Это, так называемая, смешанная задача.

Рассмотрим на примере смешанной задачи о колебаниях закреплённой струны способы задания начальных и граничных условий.

Пусть струна длиной натянута и закреплена на концах. Начальная форма струны описывается функцией , начальная скорость точек струны задаётся функцией .

Граничные условия. Колебания струны описываются функцией . Считая, что концы струны закреплены в точках и , граничные условия будут заданы следующим образом: , .

Начальные условия. Начальная форма струны будет задана как , начальная скорость точек струны: .

3. Краевая задача. К краевым сводятся задачи, описывающие стационарные процессы. В этом случае время в уравнение не входит, соответственно начальные условия не задаются, и в задаче ставят только граничные (краевые) условия, то есть указывают поведение искомой функции на границе области. Если задаётся поведение самой искомой функции, то такую задачу называют задачей Дирихле, если задаётся значение первой производной искомой функции — задачей Неймана.

Определение начальных и граничных условий должно быть таким, чтобы малые изменения данных задачи вызывали лишь малые изменения в её решении. В этом случае говорят, что решение устойчиво относительно исходных данных.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение, удовлетворяющее всем её условиям, существует единственно и устойчиво.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют дифференциальным уравнением с частными производными?

2. Какое дифференциальное уравнение в частных производных называется линейным?

3. Приведите пример линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка

4. Что такое интеграл дифференциального уравнения в частных производных?

5. Что называют общим решением дифференциального уравнения с частными производными?

6. По какому признаку классифицируются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка?

7. Запишитеуравнение колебаний струны. К какому типу уравнений оно относится?

8. Запишитеодномерное уравнение теплопроводности. К какому типу уравнений оно относится?

9. Запишитеуравнение Лапласа. К какому типу уравнений оно относится?

10. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями гиперболического типа.

11. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа?

12. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа?

13. На основании какого общего закона природы выводится уравнение теплопроводности?

14. Что задают начальные условия?

15. Что задают граничные условия?

16. Для чего необходима постановка начальных и граничных условий?

17. Какая задача называется задачей Коши?

18. Какие условия должны быть заданы в задаче Коши?

19. Какой физический смысл имеет условие, заданное для задачи Коши о свободных колебаниях струны: ?

20. Какая задача называется смешанной?

21. В какой задаче задаются только краевые условия?

22. Приведите примеры задания начальных и граничных условий.

23. В каком случае можно считать решение задачи устойчивым относительно исходных данных?

24. В каком случае считается, что задача математической физики поставлена корректно?