Начисление сложных годовых процентов

В средне и долгосрочных финансовых операциях при присоединении процентов к основной сумме долга используются сложные проценты. База для начисления сложных процентов не постоянна и увеличивается во времени, абсолютная сумма процентов растет, а процесс наращения по сложным процентам ускоряется. Это похоже на процесс рефинансирования.

Наращенная сумма для сложных процентов: S=P(1+i)ⁿ

Проценты за весь период: I=S-P=P[(1+i)ⁿ-1]

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая является базой, называется капитализацией процентов.

Проценты за каждый следующий год увеличиваются, и для некоторого промежуточного года t имеем:

It=S_t-1*i=P(1+i)^t-1*i, t=1,2…n

Величину q=(1+i)ⁿ называют множителем наращения по сложным процентам.

Величина q зависит от двух параметров: i и n. И та и другая величина оказывают очень существенное влияние на значение q.

При большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Например, остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен, а точнее выменян за 24$. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд.$, т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,666*10⁹ раз. Такой рост достигается при ставке всего 6,3% годовых.

Если даты начала и окончания финансовой операции находятся в разных календарных периодах, то общая сумма процента, начисленная за весь срок, определяется зависимостью:

I = I₁+I₂

I₁ = P[(1+i)]ⁿ¹-1

I₂ = P(1+i)ⁿ¹[(1+i)ⁿ²-1] = P[(1+i)ⁿ – (1+i)ⁿ¹]

Переменные ставки.

Неустойчивость кредитно – денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему (постоянную ставку) с помощью применения плавающих ставок. Расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен.

Для случая использования разных ставок в различных смежных периодах базовую зависимость можно записать так:

S = P(1+i₁)ⁿ¹(1+i₂)ⁿ²…(1+i_k)^nk

Начисление процентов при дробном количестве лет. Часто срок для начисления процентов не является целым числом.

Применяются два метода:

1. Общий. В первом методе напрямую используют базовую формулу при «n» в виде дроби.

2. Смешанный. Второй метод предполагает начисление процентов по сложной ставке за целое число лет, а за дробный остаток начисляют по схеме простых процентов.

S = P(1+i)^a(1+bi), a+b = n,

где a – целое число периодов

b - дробная часть периода

Множитель по этому методу больше, чем в 1 методе, т.к. для n < 1 следует 1+ni > (1+i)ⁿ . Максимальное расхождение при b = 0,5.

Рост по сложным и простым процентам

Для простых процентов введем нижний индекс «S».

Для n < 1 имеем: (1+ ni_s) > (1+i)ⁿ

Для n > 1: (1+ni_s) < (1+i)ⁿ

n = 1: (1+ni_s) = (1+i)ⁿ

С увеличением «n» разница между (1+ni_s) и (1+i)ⁿ существенно растет вследствие применения простых и сложных процентов.

Различия наглядно проявляются при определении срока, за который происходит увеличение первоначальной суммы в N раз, т.е. когда множитель наращения становится равным N.

Простые проценты: 1+ ni_s = N следовательно n = N-1/i_s;

Сложные проценты: (1+i)ⁿ = N следовательно n = ln N/ln(1+i)

Для случая удвоения исходной суммы имеем:

- простые проценты: n = 1/i_s

- сложные проценты: n = ln 2/ ln(1+i)