Понятие множества и способы его задания

Понятие множества является первичным в математике. Поэтому его нельзя определить с помощью других более простых понятий. Интуитивно множество рассматривают как нечто целое, состоящее из объектов, которые называют элементами. Иногда множество рассматривают как объединение различных объектов, обладающих каким - то общим признаком. Природа этих объектов может быть произвольной. Например, книги в библиотеке. При этом мы отвлекаемся от того какие это книги; художественная литера­тура, учебники по каким – то дисциплинам и т.п.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита:

. Если необходимо, то используют индексы при обозначении мно­жеств: и так далее. Для обозначения элементов множеств используют малые буквы латинского алфавита: , также возможно с индексами:

и т.д.

Принадлежность элемента множеству записывается так: . Эта запись читается так: элемент принадлежит множеству . Здесь есть символ принадлежности. Если элемент не входит в состав множества , записывают и читают элемент не принадлежит множеству . Полагают, что всякое множество имеет лишь один экземпляр одного и того же элемента, если иное не оговорено. Если множество имеет несколько экземпляров одного и того же элемента его называют мультимножеством.

Способы задания множеств различные. Наиболее простой способ задать множество – перечислить все составляющие его элементы:

Это задание множества в явной форме. Кроме того множество можно задать если указать условие или свойство , которому должны удовлетворять все элементы задаваемого множества. Свойство называют предикатом. Это свойство позволяет из всей совокупности объектов любого происхождения распознать элементы данного множества.

Пусть это свойство задано предикатом , который является сокращенной записью предложения, << есть чётное число>>. В этом случае имеет место запись

.

Эта запись читается так: множество состоит из элементов таких, что (что есть чётное число). Вместо вертикальной черты, отделяющей обозначение элемента множества от свойства элементов множества, используется также двоеточие:

.

Иногда свойство, которым обладают элементы рассматриваемого множества, задают формулой

.

Здесь обозначает множество всех действительных чисел.

В математике рассматриваются также множество, не имеющее элементов. Такое множество называют пустым и обозначают . Например, множество

. Здесь - множество действительных чисел.

Множества между собой могут находиться в различных отношениях.

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Этот факт записывают так: . Пусть

и .

В этом случае имеем: .