Потенциальная энергия упруго деформированного стержня равна 1 страница

, (8.14)

где – объем стержня.

Отношение энергии к тому объему , в котором она заключена, называется плотностью энергии u. Тогда – плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).

Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна .

6. Кручение

Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид

, (8.15)

где – модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения.

Пусть имеется цилиндрическая трубка радиуса . Причем толщина ее очень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна . Обозначим через касательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет . При закручивании совершается работа .

Разделим ее на объем трубки . Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(8.16)

Найдем эту же величину иначе.

Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).

Рис. 8.5

В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна

(8.17)

Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение

(8.18)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по . Это дает где – внутренний радиус трубки, – внешний радиус трубки.

Для сплошной проволоки радиуса модуль кручения .

Контрольные вопросы

1. Что называется деформацией? Какие деформации называются упругими? Приведите примеры упругих деформаций.

2. Какова физическая сущность упругих сил?

3. Сформулируйте закон Гука? Когда он справедлив?

4. Дайте объяснение качественной диаграмме напряжений. Что такое предел пропорциональности, упругости и прочности?

5. Что такое упругий гистерезис и упругое последействие?

6. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

7. Что такое упругое последействие?

8. Выведите выражения для деформаций при всестороннем растяжении.

9. Что называется коэффициентом Пуассона?

10. Определите энергию деформированного тела.

11. Что называется плотностью упругой энергии? Получите формулы этой энергии при растяжении и сдвиге.

12. Какой вид имеет закон Гука при кручении.

13. Выведите выражение для модуля кручения.

Лекция №9. Механика жидкостей и газов

При изучении движения жидкостей и газов рассматривают сплошную непрерывную среду, не вдаваясь в их молекулярное строение. В такой постановке механика жидкостей и газов является разделом механики сплошных сред. Она охватывает гидростатику, гидродинамику, газовую динамику, теорию упругости и т.д.

1. Механические свойства жидкостей и газов

Как показывает опыт, при движении одного слоя жидкости или газа относительно другого вдоль поверхности их соприкосновения действуют силы, которые называются силами внутреннего трения. Величина этих сил зависит от относительной скорости слоев и стремится к нулю при ее уменьшении. Эти силы действуют только при движении жидкостей и газов, значит, в рассматриваемых в настоящем разделе средах сдвинуть один слой относительно другого (т.е. вызвать деформацию сдвига) можно ничтожными силами. Поэтому жидкие тела не имеют определенной формы и принимают форму сосуда, в котором они находятся.

Экспериментально также установлено, что изменение объема жидкости и газа, помещенных в сосуд под поршнем, вызывается действием сил на жидкость или газ со стороны поршня. Следовательно, в отношении деформации растяжения-сжатия жидкости и газы ведут себя как упругие тела. На практике газы и жидкости подвергаются лишь всестороннему сжатию. В специальных же условиях жидкость может быть подвергнута и растяжению. Газ всегда находится в сжатом состоянии, и при отсутствии внешних сил всегда стремится увеличить свой объем до бесконечности.

Жидкости и газы отличаются в сжимаемости. Газы легко сжимаются, а жидкости практически не сжимаемы. В тех случаях, когда сжимаемость не существенна, механические свойства жидкостей и газов можно считать одинаковыми.

2. Гидростатика

Гидростатика изучает поведение жидкости и газа в состоянии покоя. Она характеризуется понятием давления и двумя законами: законом Паскаля и законом Архимеда. Рассмотрим их.

Упругость жидкости или газа определяется степенью их сжатия и характеризуется силой, действующей отдельными частями жидкости или газа друг на друга или на внешние тела. Сила в расчете на единицу поверхности называется давлением.

Мысленно разделим жидкость на две части некоторой поверхностью S и выберем на этой поверхности небольшую площадку с площадью ∆S (рис.9.1).

Рис.9.1

Жидкость, находящаяся по одну сторону площадки, действует на жидкость, находящуюся по другую сторону, некоторой силой . В неподвижной жидкости в касательном направлении к границе раздела двух слоев силы не действуют. Поэтому сила направлена перпендикулярно к площадке. Отношение величины этой силы к площади ∆S площадки, на которую сила действует, определяет среднее давление жидкости в том месте, где находится площадка. Если размеры площадки устремить к нулю, то мы получим давление p в данной точке жидкости, т.е.

(9.1)

Можно показать, что в покоящейся жидкости или газе на одном уровне давление одинаково во всем объеме (закон Паскаля).

Выделим в жидкости вертикальный цилиндр высотой h, образующая которого параллельна силе тяжести, и площадью сечения ∆S. Силы, действующие на образующие этого объема, равны, так как жидкость покоится. На торцевые стороны поверхности цилиндра действуют силы и , внутри него – объемная сила . Так как жидкость покоится, то силы, действующие на нижнее основание цилиндра сверху и снизу, должны быть одинаковы: где – плотность жидкости.

, (9.2)

т.е. разность давлений на верхнее и нижнее основание цилиндра равна гидростатическому давлению столба жидкости между этими основаниями.

Пусть теперь цилиндр заполнен другой жидкостью, но не смешивающейся с жидкостью в сосуде или каким-нибудь твердым телом. Предположим, что плотность введенного твердого или жидкого тела равна . Силы, действующие на основания по-прежнему равны и , но или где – вес введенного тела.

Кажущийся вес тела

Но – вес, например, воды в объеме тела. Поэтому кажущийся вес тела есть . Следовательно, погруженное в жидкость тело теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость или выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом и направленной вертикально вверх (Закон Архимеда).

Если , то тело тонет. Если < (погруженное тело легче воды), то оно всплывает.

3.Гидродинамика

Гидродинамика представляет собой раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами. Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. Например,при повышении давления от до Па плотность воды увеличивается всего лишь на 0,5 %. В случаях, когда силы внутреннего трения при движении жидкости малы по сравнению с другими действующими на неё силами, жидкость практически можно считать невязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, называется идеальной. Например, при температуре выше 0єС многие реальные жидкости (эфир, ацетон, спирт, вода, ртуть) обладают малой вязкостью и потому их можно рассматривать как идеальные жидкости.

4. Описание движения жидкостей.
Уравнение неразрывности струи

Возможны два способа описания движения жидкостей. Первый способ заключается в указании положений и скоростей всех частиц жидкости для каждого момента времени. Такой способ описания разрабатывался французским математиком и механиком Жозеф Луи Лагранжем (1736-1813) и называется способом Лагранжа. Однако проще следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. При таком способе движение жидкости характеризуется совокупностью функций скорости , определенных для всех точек пространства. Этот способ называется методом Эйлера (Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, механик, физик и астроном, по происхождению швейцарец, в 1727-1741 гг., 1766-1783 гг. жил и работал в России).

Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости. Это поле можно изобразить с помощью линий тока. Линии тока проводят так, чтобы густота их была пропорциональна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить и о направлении, и о модуле вектора в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, линии тока будут реже (рис.9.2). Например, в точке А густота линий, а следовательно и модуль скорости больше, чем в точке В.

Рис.9.2. Линии тока проводятся так, чтобы вектор скорости в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии

Модуль и направление вектора в каждой точке могут меняться со временем. Поэтому и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся или стационарным (или установившимся). При стационарном течении:

– любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним тем же значением скорости;

– картина линий тока остается неизменным;

– линии тока совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор касается поверхности трубки тока в каждой её точке. Следовательно, частицы жидкости во время движения не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим установившееся движение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим в трубке тока две перпендикулярные скорости сечения: (где скорость течения равна ) и (где скорость течения равна ) (рис.9.3).

Рис.9.3

Так как жидкость несжимаема, то за одно и то же время через эти сечения пройдут равные объемы жидкости, а следовательно, и одинаковые массы жидкости: , где – перемещения сечений , или ,т.е. .

Так как это равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений, имеем

(9.4)

Следовательно, для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение площади поперечной трубки на скорость течения жидкости в любом сечении трубки тока есть величина постоянная.

Соотношение (9.4) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо и к реальным жидкостям, и даже к газам в том случае, когда их сжимаемостью можно пренебречь. Это уравнение показывает, что:

– в меньших сечениях, где скорость больше, и линии тока будут гуще;

– при изменяющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением.

Формула (9.4) справедлива и для всякой реальной трубы, для русла реки и т.п. Например, скорость течения на узких участках речного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге и т.п.

5. Уравнение Бернулли

Рассмотрим наклонную трубку переменного сечения (или реальную трубу), по которой движется идеальная несжимаемая жидкость в направлении справа налево. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями, и в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 9.5). Пусть и – давления, оказываемые на сечения жидкостью вне элемента, и – отмеряемые от некоторого горизонтального уровня высоты, на которых находятся сечения, – плотность жидкости.

Рис. 9.4

Определим изменение полной энергии, происходящее в выделенной области за малый промежуток времени .

Полная энергия выделенного элемента трубки складывается из кинетической энергии и из потенциальной энергии, обусловленной силами тяжести. При течении жидкости эта энергия изменяется. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии рассматриваемого элемента должно быть равно работе внешних сил, действующих на этот элемент.

За малый промежуток времени рассматриваемый элемент жидкости 1-2 переместится по трубке. Его границы займут положения 1ґ и 2ґ. Сечение 1 переместится на расстояние , сечение 2 – на расстояние . Так как поток стационарный, то энергия части элемента между сечениями 1ґ и 2ґ остается неизменной. Объем жидкости, прошедший за время через сечение 1, равен Масса этой части жидкости . Аналогично, часть жидкости, находящаяся между сечениями 2 и 2ґ, имеет объем и массу . Согласно уравнению неразрывности и, в случае несжимаемой жидкости, .

Потенциальная энергия частиц жидкости, находящаяся между сечениями 1 и 1ґ, равна .

Кинетическая энергия этих частиц .

Аналогично, потенциальная и кинетическая энергии частиц жидкости, находящиеся между сечениями 2 и 2ґ, равны и .

Тогда изменение полной энергии всего рассматриваемого элемента жидкости будет

(9.5)

Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают.

В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :

(9.6)

Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути , в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути . Поэтому искомая работа .

Так как , имеем

(9.7)

Приравнивая выражения (9.5) и (9.7), сокращая на и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

(9.8)

Так как сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то для любого сечения данной трубки тока должно быть

(9.9)

Это уравнение называется уравнением Бернулли (выведено в 1738 г.) для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости.

Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости, второе – удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести, третье – удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной) и формулируется так:

при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной величиной на любом поперечном сечении потока.

Как видно из уравнения (9.9), все члены его левой части можно рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину – динамическим давлением, величину – гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать ещё такую формулировку:

в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкостей и газов, имеющим большое прикладное значение. Приведем несколько примеров.

1. Пусть скорости частиц жидкости в сечениях 1 и 2 трубки тока равны между собой. Тогда из уравнений (9.9) следует, что для этих сечений , т.е. разность давлений как и в покоящейся жидкости определяется разностью высот.

2. Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли принимает вид: .

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.

Поток воздуха проходит по трубке с переменным сечением. У открытого широкого конца трубки давление выходящего воздуха становится равным атмосферному. В более узких сечениях давление меньше атмосферного. Поэтому жидкость из сосуда движется по вертикальной трубке. Это явление используется в водо- и пароструйных насосах, пульверизаторах, опрыскивателях сельскохозяйственных растений, ингаляторе и других распылителях жидкости и устройствах.

3. Гидротурбина работает за счет большого давления жидкости (но имеющего малую скорость), падающего по суживающемуся трубопроводу через сопло на лопатки рабочего колеса. При этом потенциальная энергия давления воды переходит в узком трубопроводе и сопле в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение.

Аналогичным образом работает и газотурбина.

4. Гидротаран. Вода движется от плотины по наклонному трубопроводу. В конце трубопровода имеется подвижная заслонка, которая может периодически быстро перекрывать трубопровод.

При каждом перекрытии потока динамическое давление в нем внезапно падает до нуля, а статическое давление резко возрастает, перегоняя часть воды по вертикальной трубе в водонапорный бак. Это устройство используется для орошения земель, водоснабжения животноводческих ферм и т.д.

5. За счет разности давлений над и под крылом, создается подъемная сила самолета. При этом вокруг движущегося крыла возникает циркуляция воздуха, направленная по часовой стрелке. Над крылом скорости циркуляции и встречного воздушного потока складываются, под крылом – вычитаются. Поэтому относительная скорость движения воздуха над крылом превышает относительную скорость под крылом.

6. Аэрация почвы. Представим себе вспаханное поле, где валы чередуются с бороздами. Пусть ветер дует перпендикулярно к направлению борозд. Ясно, что наличие неровностей скажется на характере воздушного потока: вблизи земли линии тока будут искривлены и выровняются лишь на некоторой высоте над землей. Поэтому приземный слой воздуха является своеобразной трубкой тока переменного сечения, ограниченная снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями тока. Тогда в соответствии с уравнениями неразрывности и Бернулли давление воздуха над бороздами будет больше, чем над валами. Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного воздуха, направленное от оснований борозд к вершинам валов, что обеспечивает газообмен между почвой и атмосферой. Это явление и называется аэрацией почвы. Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а приземный воздух – углекислотой, тем самым создавая благоприятные условия для развития растений.