Средства обеспечения дисциплины 10 страница

Определим число степеней свободы абсолютно твердого тела. Ясно, что для однозначного определения положения твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех его координат А, В, С, не лежащих на одной прямой (рис.7.17).

Рис.7.17

Возьмем четвертую точку D. Расстояния AD, BD и CD для рассматриваемого твердого тела известны. Кроме того, при любых движениях твердого тела точка D все время должна находиться по одну и ту же сторону плоскости треугольника ABC. Чтобы определить положение в пространстве точки D, построим по заданным длинам AC, AD, CD треугольник ADC. Чтобы найти положение точки D, будем вращать треугольник ADC вокруг основания AC, пока вершина D не окажется на заданном расстоянии от третьей точки B. Этому условию соответствуют две точки D и D^ґ. Но вторая точка не отвечает условию задачи, так как она находится не с той стороны от плоскости треугольника ABC. Таким образом, зная положения трех точек А, В, С, можно геометрическим построением найти положение любой другой точки твердого тела.

Положения трех точек А, В, С можно задать их прямоугольными координатами , , . Эти девять координат не свободны, а связаны тремя соотношениями

Независимыми остаются только шесть координат, поскольку длины AB, BC и СA не изменяются. Поэтому твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Например, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы. Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы становится равным двум.

17. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия

Как было указано в предыдущем разделе, твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы. Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс

(7.38)

и уравнение моментов

(7.39)

Если твердое тело покоится, то уравнения (7.38) и (7.39) переходят в уравнения

(7.40)

(7.41)

В этих формулах – результирующая внешних сил, – сумма моментов этих сил относительно оси вращения. Таким образом, равновесие имеет место в том случае, когда результирующая внешних сил и сумма моментов относительно оси вращения равны нулю.

Это – необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии равна нулю, то момент этих сил в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно.

Различают устойчивое и неустойчивое равновесия. Как показывает связь силы с потенциальной энергией, при равенстве нулю результирующих внешних сил в состоянии равновесия все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения, функция потенциальной энергии остается почти постоянной. Точнее, приращения потенциальной функции при таких приращениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, т.е. минимальна или максимальна.

Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если потенциальная энергия максимальна, равновесие тела неустойчиво.

Эти выводы остаются справедливыми и для систем, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т.е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна направлению возможного перемещения и работы не производит.

18. Центр тяжести

На каждую точку частицы твердого тела действует сила тяготения Земли. Все силы тяготения параллельны друг другу, если размеры тела невелики относительно радиуса Земли, и имеют равнодействующую. Оказывается, как бы ни повернули твердое тело, эта равнодействующая будет проходить через одну точку, неизменно связанную с телом. Эта точка называется центром тяжести тела.

Если укрепить тело в точке центра тяжести, то оно будет находиться в равновесии при любом положении тела. Следовательно, сумма моментов сил тяжести всех частиц тела относительно любой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Подвешенное так тело после поворота вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести, будет оставаться в равновесии, так как равнодействующая сил тяжести проходит через точку закрепления.

Центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести. Поэтому вместо терминов “центр масс” и “центр инерции” употребляют также термин “ центр тяжести ”. Следовательно, координаты центра тяжести можно найти по формуле, справедливой для радиуса-вектора центра масс, о которой мы говорили в разделе “Центр масс системы материальных точек”. Положение центра тяжести можно вычислить также по формулам (7.40) и (7.41).

Центр тяжести можно определить и экспериментально.

Контрольные вопросы

1. Что характерно для скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно?

2. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил и ?

3. От каких величин зависит угловое ускорение тела?

4. Могут ли момент импульса и угловая скорость вращающегося тела быть неколлинеарными?

5. Приведите примеры проявления закона сохранения момента импульса твердого тела.

6. Что такое момент инерции тела?

7. Какова роль момента инерции тела во вращательном движении?

8. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

9. Что такое момент импульса материальной точки? Твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

10. В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких системах он выполняется? Приведите примеры.

11. Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментировав их аналогии.

12. Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?

13. В каком случае кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой ? Как ее вывести?

14. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

15. Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

16. Что происходит с угловой скоростью прецессии при уменьшении скорости вращения гироскопа вокруг его оси?

17. Докажите, что угловая скорость прецессии не зависит от угла .

18. Как влияет сила трения на вращение гироскопа?

19. Выведите формулу кинетической энергии твердого тела при плоском движении.

20. Что такое центр тяжести твердого тела. Как экспериментально и теоретически определить положение центра тяжести твердого тела?

21. Как определяется степень свободы твердого тела?

22. Что такое связи?

23. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

Лекция №8. Механика деформируемых тел

1. Упругие силы

Упругие силы действуют со стороны деформированного тела на тело, непосредственно соприкасающееся с этим деформированным телом. Данные силы действуют также со стороны деформированной части тела на другие смежные части этого же тела.

Под деформацией подразумевается изменение взаимного расположения точек тела.

Деформации сопровождаются изменением геометрической формы тела и его размеров.

На данное тело упругими силами могут действовать твердые, жидкие и газообразные тела. Упругие силы в твердых телах возникают как при изменении их формы, так и при изменении объема. В жидкостях упругие силы возникают лишь при изменении объема жидкости. Газ всегда действует упругими силами на стенки сосуда, в котором он находится, величина этих сил зависит от объема сосуда.

Упругие силы представляют собой проявление сил взаимодействия молекул, составляющих твердые, жидкие и газообразные тела. В конечном счете, происхождением они обязаны электрическому взаимодействию между частицами, входящими в состав молекул. Силы молекулярного взаимодействия очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами и радиус действия их не более 10^-7 – 10^-8 см. Поэтому упругими силами взаимодействуют между собой только тела, находящиеся в непосредственном контакте.

Упругая сила действует только со стороны деформированного тела. Действительно, если тело не подвергается действию внешних сил, то каждая молекула тела находится в равновесном положении. При деформации тела изменяется положение каждой молекулы относительно соседних. Молекулы, находящиеся от данной молекулы на расстояниях, меньших равновесного, действуют на неё силами отталкивания, а молекулы, находящиеся на расстояниях, больших равновесного, – силами притяжения. В результате действия совокупности молекул, сдвинутых со своих равновесных положений, возникает сила, действующая на тело, непосредственно соприкасающееся с данным. Это и есть упругая сила.

Упругие силы возникают лишь при таких деформациях, когда при прекращении действия на тело внешних сил деформация исчезает, т.е. тело восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Такие деформации называются упругими.

Опыт показывает, что сила упругости , возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации :

(8.1)

Это положение называется законом Гука.

Коэффициент пропорциональности k зависит от свойств тела, подвергающегося деформации (его размеров, формы, вещества, из которого оно изготовлено), от вида деформации, от выбора величины, характеризующего деформацию, а также от температуры.

В качестве примера тела, действующего на другие тела упругой силой, рассмотрим пружину. Закон Гука для пружины имеет вид: , где – деформация пружины, равная изменению её длины, причем – длина недеформированной пружины, – длина деформированной (растянутой или сжатой). Коэффициент называется коэффициентом жесткости пружины. Он показывает, какую силу нужно приложить к данной пружине для её растяжения на единицу. Величина этого коэффициента зависит от числа витков, их диаметра, материала проволоки, из которой изготовлена пружина, и диаметра этой проволоки.

Направления сил упругости и деформаций противоположны. Рассмотрим пружину, один конец которой закреплен, а на другой конец прикреплено тело. Выберем систему координат, одна из осей которой (например, ось Х) направлена вдоль пружины, а начало её связано с концом недеформированной пружины. Тогда при смещении тела вдоль оси Х на некоторое расстояние деформация пружины, прикрепленной к этому телу, будет равна координате этого тела. В этом случае упругая сила, действующая на тело со стороны пружины, будет иметь проекцию , которая согласно закону Гука равна

(8.2)

Знак минус показывает, что при смещении тела в положительном направлении оси Х проекция силы на эту же ось имеет отрицательное направление.

Упругие силы относятся к центральным силам, так как при любом положении тела деформация тела определяется координатой х.

Действие на твердое тело упругих сил со стороны других твердых тел проявляется в виде силы нормального давления. Например, на тело, лежащее на столе, действует упругая сила со стороны стола.

Твердые тела, действующие на некоторое тело упругими силами, могут ограничивать его движение. Например, такими ограничивающими движение телами являются рельсы, плоскости, по которым скользит тело, нити, связывающие тело с другими телами, оси, закрепленные в подшипниках и т.д. Тела, ограничивающие движение данного тела, называют связями, а упругие силы, которыми они действуют на это тело – силами связей или силами реакций. Измерить их практически невозможно, однако можно найти при помощи законов Ньютона, учитывая ограничения, накладываемые этими связями на движение тел. Например, тело соскальзывает с наклонной плоскости без трения. На тело действует сила тяжести, направленная вниз, и упругая сила связи (реакции) со стороны наклонной плоскости, направленная перпендикулярно поверхности соприкосновения тела и плоскости в сторону тела. Сила связи в уравнениях Ньютона фигурирует в качестве неизвестных.

2. Виды упругих деформаций

Деформации зависят от многих причин:

- от формы и размеров деформируемого тела;

- от величины, направления и точек приложения внешних сил;

- от свойств вещества, из которого изготовлено тело;

- от того, движется ли тело или оно неподвижно;

- от температуры.

Все эти причины могут комбинироваться самым различным образом. Поэтому виды деформаций весьма разнообразны.

Мы будем считать, что:

- деформированное тело неподвижно;

- деформируемое тело однородное, т.е. свойства вещества во всех точках тела одинаковы;

- температура деформируемого тела во всех его точках одинакова и постоянна;

- деформации малы, т.е. смещения точек тела относительно друг друга малы по сравнению с расстоянием между этими точками.

Существует несколько видов деформаций тел: одностороннее сжатие или растяжение, всестороннее растяжение или сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости. Однако все виды деформаций можно свести к двум видам: растяжению (или сжатию) и сдвигу.

Рассмотрим эти основные деформации несколько подробнее.

Пусть стержень длины и поперечного сечения подвешен (рис. 8.1). Под влиянием деформирующей силы он растягивается, приобретает новую длину и в нем возникает сила упругости .

Рис.8.1.

Мерой деформации растяжения может служить величина – изменение длины стержня, которую называют абсолютным удлинением. Другой величиной, характеризующей деформацию стержня, является относительное удлинение ( удлинение каждой единицы длины стержня): .

Опыт показывает, что относительное удлинение стержня пропорционально деформирующей силе и обратно пропорционально площади поперечного сечения

, (8.3)

где a – коэффициент упругости при растяжении (сжатии) или коэффициент продольного удлинения (сжатия), зависящий только от материала стержня.

Отношение силы к сечению, на котором она действует, называется напряжением в данном сечении. Деформацию растяжения вызывает сила, нормальная к площади сечения, а возникающее напряжение называется нормальным напряжением р_{n :}

р_n = (8.4)

В физической литературе напряжение, определяемое по формуле (8.4), называют также натяжением, если тело растягивают. Его обозначают буквой Т.

Тогда закон Гука для деформации растяжения (сжатия) примет вид:

(8.5)

При р_n= 1 a = e, т.е. коэффициент упругости численно равен относительному удлинению стержня, происходящему под действием единичного напряжения.

Для характеристики упругих свойств материала пользуются величиной , которая называется модулем упругости или модулем Юнга. Эта величина измеряется в Паскалях. Согласно формулам (8.4) и (8.5),

В качестве характеристики деформации сдвига берется величина

Е = р_nпри e =1, т.е. модуль Юнга численно равен тому напряжению, которое вызывает единичное относительное удлинение, или абсолютное удлинение, равное длине стержня. Решив уравнение (8.3) относительно деформирующей силе и учитывая формулы (8.4) и (8.5), получим выражение

(8.6)

где k – постоянный для данного стержня коэффициент. Соотношение (8.6) выражает закон Гука для стержня.

Опыт показывает, что под действием растягивающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Пусть до деформации толщина стержня равна а₀, а после деформации – а. Если сила растягивающая, то величина называется относительным поперечным сжатием стержня. Отношение относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона: .

Рассмотрим деформацию сдвига. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, нижнюю грань закрепим, а к его верхней грани приложим силу F, параллельную нижней грани.

Рис.8.2

Если действие силы F будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение, т.е. напряжение, при котором сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует: , где S– площадь грани. Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместится относительно другой на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. Поэтому деформация такого типа называется сдвигом.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к слоям, повернется на некоторый угол j. В качестве характеристики деформации сдвига берется величина

, (8.7)

называемая относительным сдвигом. При упругих деформациях угол jбывает очень мал. Поэтому можно положить tgj»j. Следовательно, относительный сдвиг g оказываетсяравным углу сдвига j.

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению: .

Коэффициент Gзависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45⁰ (tgj=1), если бы при сколь угодно больших деформациях не был превзойден предел упругости. Измеряется G как и Е в Паскалях. Для большинства упругих тел G@ 0,4E.

3. Упругие и пластические деформации.
Предел упругости и предел прочности

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Обозначим в общем случае напряжение через . Связь между относительной деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, которую мы качественно рассмотрим для твердого тела (рис.8.3).

Из рисунка видно, что линейная зависимость, установленная Гуком, выполняется лишь для упругих тел при малых относительных деформациях, а именно до так называемого предела пропорциональности , соответствующая области ОА. При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость уже не линейна) и до предела упругости остаточные деформации не возникают.

Рис.8.3

Предел упругости практически совпадает с точкой В. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ОВ, а параллельной ей – СF. Фигура OABCFO называется областью упругого гистерезиса. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (), называется пределом текучести . Ему соответствует точка С на кривой. В области СD деформация возрастает без увеличения напряжения, т.е. тело как бы “течет”. Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, если же она практически отсутствует – хрупкими. Деформация не исчезает и после прекращения воздействия на тело, когда она достаточно велика. Тогда деформацию называют пластической (текущей), в области которой лежит точка С.

При дальнейшем растяжении происходит разрушение тела. На рисунке в точке Е наступает разрыв. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности ().

Отметим, что и в случае упругой деформации первоначальная форма тела восстанавливается не мгновенно, а через некоторое время, измеряемое иногда часами и даже днями. Это явление называется упругим последействием.

4. Всестороннее растяжение и сжатие

Допустим, что однородное изотропное твердое тело имеет форму прямоугольного параллелепипеда, к противоположным граням которого приложены силы , нормальные к этим граням. Соответствующие им натяжения обозначим (рис.8.4). Определим деформации, которые возникнут под действием этих сил. Будем предполагать деформации малыми.

Направим координатные оси параллельно ребрам параллелепипеда. Пусть – длины этих ребер. Если бы действовала только сила , то ребро получило бы приращение . Его значение определяется из соотношения . Если бы действовала только сила , то размеры параллелепипеда, перпендикулярные оси Y, сократились бы. В частности, ребро х при этом получило бы отрицательное приращение , которое можно вычислить по формуле . Наконец, относительное приращение ребра под действием одной только силы было равно .

Рис. 8.4

Если бы все силы действовали одновременно, то согласно принципу суперпозиции малых деформаций результирующее удлинение ребра будет равно . Аналогично вычисляются удлинения параллелепипеда, и вдоль остальных его ребер можно написать:

,

, (8.8)