Коэффициент корреляции

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида .

Представим уравнение в эквивалентном виде:

В этой системе величина

(2.14)

показывает, на сколько величин s_у изменится в среднем , когда увеличится на одно s_х.

Величина является показателем тесноты линейной связи и называется выборочным коэффициентом корреляции (или просто коэффициентом корреляции).

Две корреляционные зависимости переменной от приведены на рис. Очевидно, что в случае а) зависимость между переменными менее тесная и коэффициент корреляции должен быть меньше, чем в случае б), так как точки корреляционного поля а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля б).

Если , то корреляционная связь между переменными называется прямой, если , - обратной. При прямой (обратной) связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению (уменьшению) условной (групповой) средней другой.

Учитывая (2.13), формулу для представим в виде:

(2.15)

Отметим другие модификации формулы , полученные из формулы (2.15):

(2.16)

(2.17)

Для практических расчетов наиболее удобна формула (2.17), так как по ней находится непосредственно из данных наблюдений и на значении не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних и отклонений от них.

Выборочный коэффициент корреляции (при достаточно большом объеме выборки ) так же, как и коэффициент корреляции двух случайных величин, обладает следующими свойствами.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [– 1;1], т.е. . Чем ближе к единице, тем теснее связь.

2. При корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость. При этом все наблюдаемые значения располагаются на прямой линии.

3. При линейная корреляционная связь отсутствует. при этом линия регрессии параллельна оси Ох.