Построение линий влияния усилий, действующих в стержнях ферм

Для ферм и вообще для стержневых систем, содержащих большое количество элементов, линии влияния имеют особенно большое значение; они позволяют значительно быстрее, чем какой-либо другой способ расчета, определять влияние движущейся нагрузки и находить расчетные, т.е. наибольшие, усилия.

Линии влияния для усилий, действующих в стержнях ферм, будем строить статическим методом.

Этот метод включает следующие этапы.

Единичный сосредоточенный груз Р=1 ставится на сооружение и связывается с ним с помощью координаты «х». Пределы изменения «х» обозначают пунктирной линией (см. Рисунок 1.15).

С помощью уравнений механики, в аналитической форме определяется фактор, для которого строится Л.В.

3) В полученное аналитическое выражение для определения рассматриваемого фактора войдет координата «х». Считая эту координату переменной величиной, строим график изменения фактора в зависимости от координаты «х». По определению Л.В., этот график и есть линия влияния рассматриваемого фактора.

Наиболее распространенными способами, с помощью которых находится связь между координатой «х» груза Р==1 и внутренними усилиями в стержнях фермы при построении липни влияния, являются известные способы сечений и вырезания узлов.

Построим линии влияния для усилий в стержнях фермы, показанной на рисунке 15. Сочетание слов «линия влияния» будем обозначать сокращенно - Л.В. Начнем с построения Л.В. опорных реакций.

Л.В. реакции R_A

Первый этап статического метода построения Л.В. мы уже выполнили: поставили на сооружение силу Р=1, привязали ее к сооружению с помощью координаты «х» и пунктиром обозначили пределы перемещения этой силы, то есть пределы изменения координаты «х».

Выполним второй этап, т.е. определим аналитическое выражение, связывающее опорную реакцию R_A с координатой «х». Координата «х» изменяется в пределах: 0 ≤ x ≤ L

Определим реакцию R_A, составив уравнение равновесия системы в форме суммы моментов всех сил относительно точки В.

откуда

(4.2)

Рис.4.16. Линии влияния усилий в стержнях фермы.

Итак аналитическое выражение R_A мы определили, т.е. второй этап построения Л.В. R_A выполнили.

На третьем этапе следует построить график найденного аналитического выражения. Поскольку «х» в формуле (4.2) стоит в первой степени, то искомый график будет прямой линией. Строим эту линию по двум точкам.

Результаты построения показаны на рисунке 4.16 в виде Л.В. R_A

Построим Л.В. реакции R_B

0 ≤ x ≤ L

Определим реакцию R_В, составив уравнение равновесия системы в форме суммы моментов всех сил относительно точки А.

откуда

(4.3)

R_B также будет прямой линией, которую мы построим по двум точкам

По этим точкам на рисунке 4.16 построена Л.В. R_B.

Постоим линии влияния усилий в стержнях фермы.

Л.В. усилия S_1-2

Усилие S_1-2 определим используя способ сечений. Проведем сечение, как показано на рисунке 15, и составим уравнение равновесия для левой или правой относительно сечения части фермы в форме моментов всех сил относительно точки Риттера. Точка Риттера – это точка пересечения стержней, попавших в сечение, усилия в которых нас в данной задаче не интересуют. Для стержня S_1-2 такой точкой является точка 8.

Следует отметить, что одного аналитического выражения для S_1-2 в пределах изменения «х» не существует. Поэтому Л.В. усилий в стержнях ферм стоят по участкам, соблюдая следующие правила.

Сначала строят Л.В. для участка, расположенного слева от разрезанной панели, затем для участка справа от разрезанной панели. В пределах разрезанной панели сроят переходную прямую, соединяя вершины смежных ординат построенных частей Л.В. Панель фермы – это участок фермы между смежными узлами.

Постоим Л.В. S_1-2 для участка фермы, расположенного слева от разрезанной панели, т.е. определим функцию S_1-2(х) для

0 ≤ x ≤ а (4.4)

Запись (4.4) указывает на то, что сила Р=1 находится в левой, относительно разрезанной панели, части фермы, т.к. координата «х» показывает положение этой силы.

Составим уравнение равновесия для правой части фермы в форме уравнения моментов сил, действующих на правую часть, относительно точки Риттера для стержня 1-2 – точки 8.

откуда

(4.5)

В (4.5) использовано выражение (4.3). График выражения (4.5) – прямая линия, существующая в пределах изменения «х» в соответствии с выражением (4.4). Построим ее по двум точкам (см. Рисунок 4.16).

(4.6)

Для того чтобы определить S_1-2(х) на рассматриваемом участке уравнение равновесия можно составить и для левой части фермы. Результат от этого не измениться, но уравнение получится более сложным, т.к. в левой части присутствует сила Р=1. Поэтому мы всегда будем составлять уравнения равновесия для той части фермы, в пределах которой нет силы Р=1.

Построим Л.В. S_1-2 для правой, относительно разрезанной панели, части фермы.

2а ≤ x ≤ L (4.7)

Сила р=1 находится в правой, относительно разрезанной панели, части фермы.

Составим уравнение моментов всех сил, действующих на левую часть фермы, относительно точки 8.

откуда

(4.8)

Снова получается прямая линия. Строим ее по двум точкам (см. Рисунок 4.16).

Итак линия влияния S_1-2 построена на всем протяжении изменения координаты «х», кроме пределов разрезанной панели. В пределах разрезанной панели вершины смежных ординат, полученные в результате предшествующих построений, соединяем прямой линией – строим переходную прямую (см. Рисунок 4.16). Теоретически это правило будет доказано при дальнейшем изучении курса.

Л.В. усилия S_8-9

На основании записанного выше правила, точкой Риттера для этого стержня будет точка 2. Разрез фермы остается прежним. Построим Л.В. S_8-9 для левой, относительно разрезанной панели, части фермы. Пределы изменения «х», при которых будет справедливо искомое аналитическое выражение S_8-9(х), следующие.

0 ≤ x ≤ а (4.9)

Составим уравнение равновесия для правой части фермы в форме моментов сил, действующих на эту часть, относительно точки 2.

где r _8-9 - плечо силы S _8-9 относительно точки 2,

откуда

(4.10)

Полученную прямую строим по двум точкам

Результаты построения смотри на рисунке 4.16.

Строим Л.В. S_8-9 на участке справа от разрезанной панели

2а≤ x ≤ L (4.11)

Составим уравнение равновесия левой части фермы в форме суммы моментов сил, действующих на левую часть, относительно точки 2.

откуда

(4.12)

Полученную прямую строим по двум точкам на концах участка (4.11) (см. Рис.4.16).

В пределах разрезанной панели строим переходную прямую по указанному выше правилу (см. Рис.4.16).

Л.В. усилия S_2-8

Точкой Риттера для этого стержня будет точка С (см. Рис.4.16). Построим Л.В. S_2-8 для левой части фермы.

0 ≤ x ≤ а (4.13)

Составим уравнение равновесия для правой части фермы в форме суммы моментов сил относительно точки С.

где r _2-8 – плечо силы S_2-8 относительно точки С,

откуда

(4.14)

По двум крайним точкам участка (4.13) строим прямую (4.14) (см. Рис.4.16).

Построим Л.В. S_2-8 для правой части фермы.

2а ≤ x ≤ L (4.15)

Составим уравнение равновесия для левой части фермы в форме суммы моментов сил относительно точки С.

откуда

(4.16)

Прямую (4.16) строим по двум точкам на концах участка (4.15) (см. Рис.4.16).

В пределах разрезанной панели строим переходную прямую (см. Рис.4.16, Л.В. S_2-8).

Построим Л.В. силы S_1-8, действующей в стойке фермы. Этот стержень является одиночным. Так называется один из стержней в трехстержневом узле, в котором два других стержня направлены по одной прямой. Легко доказать, что в незагруженном внешней нагрузкой узле одиночный стержень всегда нулевой, то есть усилие в нем равно нулю. Рассмотрим узел какой то фермы (см. Рис.4.17).

Рис.4.17. Узел фермы.

Если спроектировать все силы на ось У, перпендикулярную направлению S₁-S₂, то получим S₃=0. Что и требовалось доказать.

Рис.4.18 Узел 1.

Вырежем узел 1 нашей фермы (см. Рис.4.18) и рассмотрим условия его равновесия.

Спроектировав все силы на вертикальную ось, получим

откуда

Если сила Р=1 будет находиться вне пределов смежных с узлом панелей фермы, то

На основании проведенных рассуждений построена Л.В. S_1-8 (см. Рис. 4.16).

Построим Л.В. усилия S_2-9.

Рис.4.18 – Узел 9.

Это усилие можно определить из рассмотрения равновесия узла 9 (см. Рис.4.18)

Спроектируем все силы, действующие в узле, на ось У, перпендикулярную стержню 9-10.

откуда

(4.17)

На основании записи (4.17) можно сделать вывод, что Л.В. S_2-9 это есть Л.В. S_8-9, умноженная на коэффициент (-соsα/cosβ). По такому правилу построена Л.В. S_2-9 на рис.4.16.