Способ проекций

Способ проекций применяется в двух вариантах:

рассматривается равновесие части фермы, когда два из трех рассеченных стержней параллельны друг другу;

рассматривается равновесие выделяемых из фермы узлов (способ вырезания узлов).

Определим усилия в элементах решетки фермы, изображенной на рис. 4.19.

Для определения усилия V ₅₆разрежем ферму сечением /—/, пересекающим стержни 4 - 6, 5 - 6 и 5 -7. Так как моментная точка для усилия V ₅₆вследствие параллельности стержней 4 - 6 и 5 -7 находится в бесконечности, то составить уравнение моментов от­носительно этой точки невозможно. Поэтому составим условие рав­новесия в виде суммы проекций всех сил, действующих на отсечен­ную часть фермы (рис. 4.20), на ось, перпендикулярную ее поясам (в это уравнение усилия в поясах не войдут, так как они перпендикулярны оси проекций):

откуда

Рис.4.10. Рис.4.11.

Для определения усилия D ₆₇ разрежем ферму по линии II-II (см. рис.4.10) и составим уравнение для левой ее части (рис.4.12):

откуда

Рис.4.12.

При расчете простейших ферм все усилия можно определить способом проекций, применяя его последовательно к каждому узлу. При этом определение усилий необходимо начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней.

Для примера определим усилия в стержнях 1 —2, 1 — 3, 2—3 и 3—5 фермы, изображенной на рис. 4.13. Вырежем сначала левый опорный узел (рис. 4.14) и рассмотрим условия его равновесия.

Рис.13. Рис.14.

Для определения усилия О ₁₂спроецируем все силы, действую­щие на узел, на ось, перпендикулярную направлению стержня 1 — 3, т. е. на вертикальную ось у:

,

откуда

В данном случае R_A равно Р/2, а потому О ₁₂ = - P/ (2sin a).

Для определения усилия U ₁₃ спроецируем все силы, действую­щие на опорный узел, на ось х:

,

откуда

Подставив в последнее уравнение значение усилия O ₁₂, полу­ченное ранее, найдем

Для определения усилий в стержнях 3 — 2 и 3 — 5 вырежем узел 3 и рассмотрим условия его равновесие (рис. 4.15).

Рис.4.15.

Составим сумму проекций сил на ось х:

откуда (учитывая, что через и обозначено одно и то же усилие, а имен­но усилие в стержне, соединяющем узлы 1 — 3), получим

Спроецировав все силы на вертикальную ось у, получим

Усилие в стержне 3 — 2 было бы также равно нулю, если этот стержень и не был бы перпендикулярен стержням 1 — 3 и 3 — 5.

Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, то усилия в этих двух стержнях, при отсутствии в узле внешней нагрузки, равны друг другу по числовой величине и по знаку, а усилие в третьем стержне равно нулю.

При расчете фермы способом вырезания узлов усилия в ряде стержней можно найти только после предварительного определения усилий в других стержнях. В связи с этим случайная ошибка в определении одного усилия может привести к неправильному определению усилий в целом ряде стержней. Кроме того, недостатком этого способа является и то, что в уравнения равновесия всегда входят тригонометрические функции - это усложняет расчет.