Работа внешних сил. Потенциальная энергия

Приложение нагрузки к любому сооружению вызывает его де формацию. При этом части сооружения выходят из состояния покоя, приобретают некоторые скорости и ускорения. Если нагрузка возрастает медленно, то эти ускорения невелики, а потому можно пренебречь силами инерции, развивающимися в процессе перехода системы в деформированное состояние. Такое плавное (постепенное) приложение нагрузки называется статическим.

Определим работу внешней нагрузки, например силы Р, статически приложенной к некоторой упругой системе (рис. 5.1), материал которой удовлетворяет закону Гука.

При малых деформациях к этой системе применим принцип независимости действия сил, и, сле­довательно, перемещения отдельных точек и сечений конструкции прямо пропорциональны числовой величине вызывающей их нагрузки. В общем виде эту зависимость можно выразить равенством

(5.1)

здесь ∆ — перемещение по направлению действия силы Р; а — некоторый коэффициент, зависящий от материала, схемы и размеров сооружения.

Увеличим силу Р на бесконечно малую величину dP. Этопри­ращение вызовет возрастание перемещения на d∆

Составим выражение элементарной работы внешней силы на перемещении d∆ отбрасывая при этом' бесконечно малые величины второго порядка малости:

Заменяем значение d∆ на основании формулы (5.1) выражением

Интегрируя это выражение в пределах полного изменения силы от нуля до ее конечного значения, получаем формулу для опреде­ления работы, совершенной статически приложенной внешней силой P:

Так как ∆=aP то полученную формулу можно представить в виде

(5.2)

В общем случае направление силы Р может не совпадать с на­правлением вызванного ею перемещения. Так как числовая величи­на работы определяется произведением силы на путь, пройденный по направлению этой силы, то под величиной ∆ надо понимать про­екцию действительного (полного) перемещения точки приложения силы на направление силы. Например, при действии силы Р под углом β к горизонтальной оси (рис, 5.2) перемещение А измеряется отрезком аb (представляющим собой проекцию действительного перемещения аа₁ на направление силы P).

В случае» когда к системе при­ложена пара сил с моментом М (сосредоточенный момент), выражение работы можно получить ана­логичным образом. При этом необходимо выбрать соответствующий сосредоточенному моменту вид перемещения; это будет угол пово­рота того поперечного сечения бруса, к которому приложен момент. Например, работа момента, статически приложенного к балке, изображенной на рис. 5.3,

(5.3)

где θ — угол поворота (в радианах) того сечения балки, к которому приложен момент М.

Итак, работа внешней силы при статическом действии ее на любое упругое сооружение равна половине произведения значения этой силы на величину соответствующего ей переме­щения.

Для обобщения полученного вывода под силой понимаем любое воздействие, приложенное к упругой системе, т. е. не только сосредоточенную силу, но и момент, равномерно распределенную на­грузку и т. п.; под перемещением понимаем тот вид перемещения, на котором данная сила производит работу. Сосредоточенной силе Р соответствует линейное перемещение, моменту М — угловое, а равномерно распределенной нагрузке — площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.

При статическом действии на сооружение группы внешних сил работа этих сил равна половине суммы произведений каждой силы на величину соответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы сил. Так, например, при действии на балку, изображенную на рис. 5.4, сосредоточенных сил Р1, Р2 и сосредоточенных моментов M1, M2 работа внешних сил

Знак минус перед последним членом выражения принят пото­му, что направление угла поворота θ2 поперечного сечения балки,

в котором приложен момент М2, противоположно направлению этого момента,

Итак,

(5.4)

Работу внешних сил на вызванных ими перемещениях можно выразить и иначе, а именно: через изгибающие моменты, продоль­ные и поперечные силы, возникающие в поперечных сечениях стерж­ней конструкции.

Выделим из прямолинейного стержня двумя сечениями, перпен­дикулярными его оси (рис. 5.5), бесконечно малый элемент длиной dx (элемент dx). Стержень состоит из бесконечно большого числа таких элементов. К элементу dx в общем случае плоской задачи 1 приложены продольная сила N, изгибающий момент М и поперечная сила Q.

Усилия N, М, Q являются внутренними усилиями по отношению к целому стержню. Однако для выделенного элемента они являются внешними силами, а потому работу А можно получить как сумму работ, совершенных статически возрастающими усилиями N, М, Q на соответствующих деформациях элементов dx. Рассмотрим от­дельно влияние каждого из этих усилий на элемент dx.

Элемент dx, находящийся под действием только продольных сил N, изображен на рис. 5.6. Если левое его сечение считать неподвиж­ным, то правое сечение под влиянием продольной силы переместится. вправо на величину ∆x=Ndx/(EF). На этом перемещении статически возрастающая сила N совершит работу

(5.5)

Элемент dx, находящийся под действием только изгибающих моментов М, изображен на рис. 5.7. Если левое его сечение непо движно закрепить, то взаимный угол поворота торцовых сечений эле­мента будет равен углу поворота ∆θ его правого сечения*

На этом угловом перемещении статически возрастающий мо­мент М совершит работу

(5.6)

Элемент dx, находящийся под действием только поперечных сил Q, изображен на рис. 5.8, а. Закрепив левое его сечение (рис. 5,8, б), приложим к правому касательные усилия τdF, равнодействующей которых является поперечная сила Q.

Предположим, что касательные напряжения т равномерно рас­пределены по всей площади F поперечного сечения, т. е. τ=Q/F; тогда перемещение ∆ (рис. 5,8 б), вызванное действием поперечной силы Q, представляющее собой сдвиг торцовых сечений элемента dx друг относительно друга, определится из выражения

, а работа статически возрастающей силы Q на этом перемещении

В действительности касательные напряжения т распределены по площади поперечного сечения неравномерно, что учитывается путем введения поправочного коэффициента η. Следовательно, при одновременном действии на выделенный элемент dx про­дольной силы N, изгибающего момента М и поперечной силы Q работа каждой из этих сил на перемещениях, вызываемых осталь­ными силами, равна нулю. Так, например, при действии продоль­ных сил N не происходит взаимный поворот и сдвиг торцовых сече­ний элемента dx (см. рис. 5.6), и, следовательно, работа изгибаю­щего момента М и поперечной силы Q на деформациях элемента dx от силы N равна нулю. Поэтому полная работа

(5.8)

В формуле (5.8) множители N, M и Q представляют собой внут­ренние усилия в поперечном сечении, а множители Ndx/(EF), Mdx/(EJ) и [Qdx/(GF)] η — соответствующие им деформации эле­мента dx стержня.

Интегрируя выражение dA в пределах длины l каждого участка всех стержней и производя суммирование по всем участкам системы, получаем следующую формулу для вычисления работы внешних сил на вызванных ими перемещениях (в случае плоской задачи):

(5.9)

Из формулы (5.9) видно, что работа внешних сил на вызванных ими перемещениях всегда положительна.

На основании закона сохранения энергии работа Л внешних сил переходит в потенциальную энергию U деформации» т. е.

(5.10)

Подставим в равенство (5.10) выражение А по формуле (5.9):

(5.11)

Полученные в настоящем параграфе формулы применимы не «только для прямых стержней, но и для стержней малой кривизны.