Тема 14. Элементы математической статистики

Изучив данную тему, студент должен знать:

1. Задачи математической статистики.

2. Понятия генеральной и выборочной совокупности.

3. Классификацию выборок.

4. Способы отбора.

5. Варианты и вариационный ряд.

6. Понятия полигона и гистограммы.

7. Что такое генеральная и выборочная средние, дисперсии и стандарты?

8. Что такое несмещенные и смещенные, эффективная и состоятельная оценки?

9. Что такое мода, медиана, размах и коэффициент вариации?

10. Что такое статистическая гипотеза, уровень значимости и статистический критерий проверки гипотезы?

11. Последовательность проверки статистических гипотез.

Уметь:

12. Выполнять статистические расчеты.

13. Оформлять статистические расчеты в виде графиков.

Проиллюстрируем на типовых примерах технику статистических расчетов.

1. Задано распределение частот выборки:

xi
ni

Составить распределение относительных частот.

Определим сначала объем выборки:

.

Найдем относительные частоты по формуле :

; ; ; .

Следовательно,

xi
wi	0,12	0,40	0,28	0,20

Контроль: .

2. По результатам примера 1 построить полигоны частот и относительных частот.

Отобразив на плоскости точки с координатами и соединив
их отрезками, получим полигон частот:

Аналогично построим полигон по точкам :

3. Построить гистограмму по следующему распределению:

Номер интервала	Интервал длиной h =5	Сумма частот вариант ni
	5–10
	10–15
	15–20
	20–25
	25–30
	30–35
	35–40

Прежде всего определим объем выборки:

.

По известным суммам частот вариант рассчитаем плотность частоты по интервалам:

Номер интервала	Плотность частоты		Номер интервала	Плотность частоты
	0,2			4,8
	1,2			2,0
	3,2			0,8
	7,2

Изобразим полученный результат:

4. Найти статистические оценки генеральной совокупности, заданной следующим вариационным рядом:

варианта xi
частота Ni

Определим объем совокупности:

.

Найдем генеральную среднюю:

.

Для вычисления генеральной дисперсии используем формулу . Определим среднюю квадратов:

.

Таким образом, .

Генеральный стандарт: .

Обычно полученных результатов достаточно для практических задач. Однако можно получить дополнительные характеристики для более тонкой оценки генеральной совокупности. Приведем их:

Мода : наибольшая частота

.

Медиана : вариационный ряд делится пополам в точке

.

Размах вариации R: в примере , поэтому

.

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi
ni

Найти статистические характеристики выборки.

Определим объем выборки:

.

Выборочная средняя:

.

Определим среднюю квадратов:

.

Выборочная дисперсия:

.

Выборочный стандарт:

.

Как известно, выборочная дисперсия является смещенной оценкой
вариационного ряда. Получим несмещенную оценку, т.е. исправленную дисперсию:

.

Соответственно, исправленный стандарт:

.