Тема 10. Аксиоматические начала математики

Изучив данную тему, студент должен знать:

1. Понятие множества, подмножества. Обозначения и изображения множеств. Способы задания множеств.

2. Операции над множествами и свойства операций. Степень множества, формулы числа подмножеств.

3. Основные свойства множеств. Ограниченные и неограниченные множества. Максимум и минимум множества. Грани множества.

4. Основные числовые множества.

5. Определение функции. Области определения и значений функции. Способы задания функции.

6. Основные свойства функций. Возрастание и убывание функции.
Периодическую функцию.

7. Основные элементарные функции.

Уметь:

8. Выполнять операции над множествами и подмножествами.

9. Анализировать элементарные функции и их композиции.

10. Строить и анализировать графики функций.

Решение задач по теории множеств, доказательство формул удобно проводить, пользуясь не только определениями и объектным представлением
о множестве, но и с помощью диаграмм Эйлера. Рассмотрим примеры решения ряда типовых задач.

1. Определить множество А решений уравнения х ² – 25 = 0.

x ² – 25 = 0 х ² = 25 х ₁ = –5; х ₂ = 5.

Отсюда: А ={ x | x ² – 25 = 0}={–5; 5}.

2. Определить множество В решений неравенства 2 х + 9 ³ 0.

2 х + 9 ³ 0 Þ 2 x ³ – 9 Þ x ³ – 4,5.

Отсюда: В ={ x | 2 х +9 ³ 0}={ х | x ³ – 4,5}= .

3. Заданы множества и . Определить результаты операций .

Изобразим эти множества диаграммами Эйлера и решим задачу:

4. Определить результаты тех же операций, если

Кружками в этом рисунке обозначим точки, которые являются концами нестрогого неравенства, крестиком – строгого неравенства.

5. Определить все подмножества множества А ={0; 1; 3}.

Несобственные: Æ и А; одноэлементные: {0}, {1}, {3}; двухэлементные: {0; 1}, {0; 3}, {1; 3}.

Следовательно, степень множества Р (А), т.е. множество всех подмножеств, имеет вид Р (А)={Æ; {0}; {1}; {3}; {0; 1}; {0; 3}; {1; 3}; {0; 1; 3}}.

Для проверки используем теорему: если множество А состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2 ⁿ.

Для нашего примера n =3, следовательно, число подмножеств 2³=8, что совпадает с числом объектов в Р (А).

(Для оценивания множеств удобно использовать дополнительные
характеристики. Пусть А – произвольное, но не пустое множество. Число m = max A называется максимумом множества А, если mÎA и
любые другие элементы множества не превосходят этого числа: a _i £ m. Аналогично определяется и минимум множества l = min A.

Множество А называется ограниченным сверху, если существует
число k такое, что для всех элементов множества справедливо a _i £ k. Это число назовем верхней гранью множества А. Минимально возможное значение k называется точной верхней гранью множества А и обозначается
k = sup A (supremum A).

Множество А называется ограниченным снизу, если существует число p такое, что для всех элементов множества справедливо a _i ³ p. Это число назовем нижней гранью множества А. Максимально возможное значение
р называется точной нижней гранью множества А и обозначается p = inf A (infimum A)).

6. Оценить множество А ={2; 6; 1; 8}.

В этом множестве легко найти: max A =8; min A =1; sup A =8;
inf A =1.

7. Оценить множество N ={1; 2; 3;…}, т.е. натуральный ряд.

Здесь min N =1; max N – не существует; sup N – не существует; inf N =1.

8. Оценить множество А ={ х | 2 £ x < 5}.

Из рисунка следует: min А =2; max A – не существует, так как 5Ï А; sup A =5;
inf A =2.

9. Оценить множество А ={ х | 3< x < ¥}.

Здесь min A – не существует, так как 3Ï А; max A – не существует; inf A =3; sup A – не существует.

Функция – основной описатель различных процессов. Рассмотрим ряд примеров, раскрывающих важные стороны этого базового понятия.

10. Найти область определения (ОДЗ) функции .

На множестве R следует выполнить условие:

, т.е. или х < 0,2.

Отсюда: .

11. Найти ОДЗ функции .

Так как на ноль делить нельзя, то следует выполнить условие .

Отсюда: .

12. Исследовать на четность функцию .

Положим х ₁ = 2, х ₂ = –2. Тогда и . Так как корреляции типов или не устанавливаются, следовательно, заданная функция – общего вида.

13. Исследовать на четность функцию .

Принимая те же значения, что и в примере 12, имеем:

и .

Так как , то заданная функция – нечетная.

14. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

15. Представить сложную функцию системой.

Решение: .

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие задания.

Задание 10.1. Найти (A È B) Ç С, если A ={ x | – p ₁ £ x < p ₂}; B ={ x | 0 £ x < p ₁} и C ={ x | – p ₂ £ x < p ₃}.

Задание 10.2. Оценить множество , где n Î N.

Задание 10.3. Оценить множество A ={ x | – p ₁ < x £ p ₃}.

Задание 10.4. Оценить множество С = А Ç В, если А ={ x | x > – p ₁}
и B ={ x | –2´ p ₁ £ x < p ₂}.

Задание 10.5. Найти ОДЗ функции .

Задание 10.6. Исследовать на четность функцию: .

Задание 10.7. Исследовать на четность функцию: .

Задание 10.8. Построить по точкам график функции

.

Задание 10.9.Расшифровать сложную функцию .

Задание 10.10.Расшифровать сложную функцию .

& Литература: 5, 6, 8, 13, 24, 28, 32, 33, 57, 63, 79.