Примеры решения типовых задач. Свойства сходящихся последовательностей

Свойства сходящихся последовательностей

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

· Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

· Сходящаяся последовательность ограничена.

Вычислить пределы числовых последовательностей

Основные свойства пределов функций

1) , где С = const.

2)

3)

4)

Вычислить предел функции в точке

Найти производные функций:

1)

2)

4)

а) - производная произведения двух функций

б) - производная отношения двух функций

в) - производная суммы двух сложных функций

Найти производную функции второго порядка:

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке:

Исследовать функцию и построить ее график.

· D(у) = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Е(у) = (-¥; ¥).

· Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

· Если у = 0, то =0 Þ х =0 – проходит через начало координат

Если х = 0, то у = =0 Þ у =0

· Проверим на четность: у (- х) = = = - у (х) –функция нечетная, следовательно график симметричен относительно начал координат.

· Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1 и помечаем их на числовой прямой

+ - - - - + y ’

- -1* 0* 1* х

y

max min

y_max(- ) = и y_min() =

· Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках х =0, х = -1, х =1

- + - + f ’’

-1 0 1 x

f

· Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

·
Построим график функции:

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции;

3. - интегрирование – действие обратное дифференцированию с точностью до const;

4. , где u, v – некоторые функции от х;

5.

6. Если F(x) - первообразная для f (x), то – первообразная для

Непосредственное интегрирование