Типы граничных условий теплообмена

Рассмотрим общую формулировку задачи о нахождении распределения температур в теле детали двигателя. Пусть некоторая элементарная поверхность dF, имеющая температуру T_w, омывается жидкостью, температура которой T_f, причем T_w ¹ T_f. В стационарных условиях теплопередачи распределение температур в рассматриваемом теле можно получить на основе решения уравнения Лапласа:

(11)

где T = T (x, y, z) – температура в произвольной точке тела; x, y, z – координаты пространства.

Решение задачи нахождения распределения T = T (x, y, z) связано с заданием на поверхности Г локальных граничных условий (ГУ) теплообмена. Существуют четыре основных способа их задания.

ГУ 1-го рода (задача Дирихле). По контуру тела задают температуру на его поверхности. Традиционная формулировка этих ГУ: T ½_Г = T_w (x, y, z). Данный вид граничных условий не представляет особого интереса, поскольку знание температуры поверхности есть частный случай распределения температур в теле самой детали, что является в нашей задаче искомой величиной. Этот вид ГУ может быть использован в отладочных задачах теплопроводности или для восстановления распределения температур в теле детали на основе обширного термометрирования с последующим решением ОЗТ – обратной задачи теплопроводности.

ГУ 2-го рода (задача Неймана). По конуру тела задают распределение плотности теплового потока q ½_Г = q_w (x, y, z), что равносильно заданию первой производной от температуры T_w по поперечной координате z. Действительно, воспользовавшись гипотезой Фурье о тепловом потоке со стороны стенки, можно записать:

и считая коэффициент теплопроводности материала ненулевой константой, можно сказать, что

(12)

Покажем, что этот вид ГУ по своей значимости практически равносилен заданию ГУ 1-го рода. Посчитаем задачу теплопроводности в теле детали одномерной. Тогда в уравнении теплопроводности Лапласа (11) останется производная только по одной координате, направленной вдоль оси детали (в данном случае стержня):

(13)

Проинтегрируем (13), записав его в полных производных:

Для определения постоянной интегрирования с ₁ воспользуемся выражением (12):

тогда

Для нахождения второй константы устремим координату z к нулю, где температура тела обратится в температуру на его поверхности (конце стержня), т. е. T = T_w, следовательно c ₂ = T_w. В конечном итоге имеем

(14)

Таким образом, решая эту задачу, мы не обошлись без знания температуры на поверхности детали, т. е. ГУ 1-го рода. С точки зрения решения трехмерных задач теплопроводности численными методами, данный результат может быть истолкован так: для нахождения единственно верного температурного поля в теле детали недостаточно знать распределение тепловых потоков по ее поверхности, необходимым условием однозначности решения является знание температуры хотя бы в одной точке тела. Поэтому самостоятельного значения эти ГУ также не имеют, а область их применения ограничивается рамками использования ГУ 1-го рода.

Однако следует заметить, что в некоторых случаях, когда приходится суммировать тепловые потоки от различных источников, реальной альтернативы граничным условиям 2-го рода практически нет. Но использованы они могут быть только в совокупности с другими видами ГУ, в частности 1-го или 3-го рода.

ГУ 3-го рода (смешанная задача) состоят в задании температур сред, омывающих поверхности тела и условий теплообмена между средами и поверхностями – коэффициентов теплоотдачи. Отличительной особенностью ГУ 3-го рода является независимость параметров теплообмена – коэффициента теплоотдачи a и температуры потока T_f от переноса тепла в твердой стенке. Традиционной формулировкой ГУ 3-го рода является выражение

(15)

Граничные условия 3-го рода являются лишь частным случаем
ГУ 4-го рода, отражающих равенство локальных тепловых потоков проходящих через поверхность соприкосновения тела и среды. В общем случае ГУ 3-го и 4-го родов записываются как

(16)

что отражает условия закона сохранения энергии на границе раздела жидкость (газ) – твердое тело.

Безусловно, граничные условия 4-го рода отражают наиболее общие закономерности передачи тепла, однако их применение подразумевает совместное решение задач отыскания распределений температур в пограничном слое и теле детали. Поэтому такую совместную задачу с ГУ 4-го рода относят к классу сопряженных.