Условие сопряженности тепловых потоков. Число Брюна

При изучении теплового взаимодействия потока с поверхностью стенки различают динамический (скоростной) и тепловой (температурный) пограничные слои (ПС). Первый из них представляет собой пристенную область с существенным изменением продольной скорости, второй – с существенным изменением температуры. Область жидкости или газа, расположенная выше ПС считается невозмущеннным потоком. Внешняя граница пограничного слоя условна. Толщиной динамического (теплового) пограничного слоя считают расстояние от поверхности твердого тела до такой предполагаемой поверхности, где продольная скорость (избыточная температура) составляет 99 % от скорости (избыточной температуры) невозмущенного потока. Обозначаются: d – динамический, d _t – тепловой пограничные слои.

Теоретический анализ показывает, что при ламинарном пограничном слое, который чаще всего имеет место в рабочих полостях ДВС:

d/d _t = Pr^1/3.

Тогда, при Pr = 1, толщины теплового и динамического пограничных слоев равны. Для газов характерно Pr < 1, для них d _t > d; для жидкостей при Pr > 1 – d _t < d.

Рассмотрим стационарную задачу конвективного теплообмена в двумерной постановке на границе газ-стенка. Возьмем тело произвольной конфигурации и рассмотрим сопряжение температурных полей (см. рис. ххх).

Рис. ХХХ. Сопряжение температурных полей в жидкости и стенке.
Здесь: b – локальная толщина стенки; d и d_т – текущие значения
толщин динамического и теплового пограничных слоев

Температура в тепловом пограничном слое изменяется от значения ее в тепловом потоке T_f до T_w на стенке. По толщине стенки температура изменяется от T_w до T_w^* на ее обратной стороне.

Будем считать, что задача плоская, тогда распределение температур в твердой стенке опишется уравнением Лапласа:

(17)

Процесс передачи теплоты от жидкости к стенке в предположении ламинарности пограничного слоя и несжимаемости самой жидкости опишется следующей системой уравнений:

(18)

(19)

(20)

Здесь: (2) – уравнение движения в ЛПС, (3) – уравнение сплошности потока, (4) – уравнение энергии. В этих уравнениях: U_x (x,z)и U_z (x,z) – продольная и поперечная компоненты скорости в пограничном слое; T (x,z) – распределение температур в пограничном слое.

Движение жидкости или газа вне пограничного слоя, считая что оно явно турбулентно, опишется уравнением Эйлера:

(21)

Индекс “0” у скорости U предполагает, что благодаря высокой степени турбулентности поля скоростей, температур и давлений по оси z выравнены.

Граничные условия для системы уравнений (18)-(21) следующие:

на стенке (z = 0), T = T_w и U_x = U_z = 0 (условия прилипания);

в потоке (z → ¥), T = T_f, U_x = U ₀. (22)

Решение системы уравнений (18)-(21) дает распределение скоростей и температур в пограничном слое, что в дальнейшем позволяет отыскать значение плотности теплового потока, идущего в стенку согласно гипотезе Фурье о тепловом потоке:

(23)

Запишем закон сохранения энергии на границе раздела газ-стенка:

.

Согласно гипотезе Фурье о тепловом потоке, закон сохранения энергии для границы раздела двух сред запишется в виде:

. (24)

Линеаризуем поля температур в теле детали и пограничном слое:

где ε – коэффициент, учитывающий погрешность перехода от истинного профиля температур к линейному; – температурный напор со стороны потока; – изменение температуры по толщине стенки.

После преобразования получим:

(25)

Последнее выражение представляет собой условие согласования температурных полей в жидкости и твердой стенке.

Введем обозначение:

тогда, домножив числитель и знаменатель на ненулевую продольную координату x, получим:

Известно, что при линейном распределении температур в пограничном слое

.

Тогда:

поскольку

Следует также отметить, что для линейного распределения температур в пограничном слое выражения Фурье и Ньютона тождественны:

(26)

Далее, интенсивность теплоотдачи конвекцией в общем случае есть функция режима течения и теплофизических свойств самой жидкости:

тогда

Обозначим:

(27)

– как число Брюна, определяющее условие сопряжения тепловых потоков. Тогда общий вид условия сопряжения на границе раздела газ-стенка будет выглядеть следующим образом:

(28)

Возможны два случая сопряжения.

1. Если Br _x =0 или Br _x ®0, тогда

что возможно, если (как для изотермической пластины T_w= const) или перепад достаточно мал по отношению к перепаду т.е. .

Таким образом, задача нахождения интенсивности теплоотдачи α является изотермической, а сам коэффициент α не зависит от распределения температур в стенке.

Окончательно граничные условия 3-го рода сформулируем из равенства:

или

(29)

Знак “минус” в последнем выражении часто опускают, поскольку он отражает только противоположную направленность теплового потока относительно градиента температуры в пограничном слое. А сами граничные условия третьего рода задают в виде коэффициента теплоотдачи α и температуры внешнего потока T_f.

2. Если или , тогда

В этом случае температурные поля в пограничном слое и твердом теле сопряжены и зависят друг от друга, а знание только коэффициента теплоотдачи a недостаточно для их сопряжения (необходимо знать первоначальное распределение температур в стенке).

Граничные условия 4-го рода окончательно формулируются в виде:

(30)

а при решении задач теплообмена при граничных условиях 4-го рода температурные поля в пограничном слое и стенке необходимо сопрягать.

Следует отметить, что большинство задач теплообмена в ДВС относится к классу сопряженных, поэтому есть необходимость в определении области применимости условий 3-го рода.