Число е

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10^у, тогда lnx = ln10^y, следовательно lnx = y ln10

у = , где М = 1/ln10» 0,43429…- модуль перехода.

Вопросы для самопроверки

1. Определение последовательности

2. Какие операции можно определить для последовательности?

3. Монотонные последовательности

4. Ограниченные последовательности

Список используемой литературы

1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебное пособие.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006.- 251 с.

2 Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с

3 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.