Основные элементарные функции и их графики

Определение: Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Графики основных элементарных функций и их свойства приведены в таблице.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

у=3х² – 5х + е^х

у= f (х) (1).

Функция называется неявной, если она задана уравнением не разрешенным относительно зависимой переменной.

х²+у²=R², F(x;y)=0 (2).

Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение (2), имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции.

х²+у² +R² =0.

у2= -х² -R² (действительных значений нет)

Понятие обратной функции

Пусть у есть функция от аргумента х.

у= f (х) (1).

Если считать у – аргументом, а х – функцией, то х называется обратной функцией по отношению к у.

х=φ(у) (2).

у= f [(φ(у))] (3).

Иногда придерживаются стандартных обозначений у=φ(х)..

Функции у=а^х и у=log_ах –обратные.

Ниже изображены их графики.

у

Сложная функция.

Пусть функция у= f (u) есть функция от переменной u, а переменная u в свою очередь является функцией от переменной х и =φ(х), тогда у= f [(φ(х))] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

5. Применение функций в экономике.

Понятие функции является центральным для всей математики. Самой простой и наиболее часто используемой является линейная функция у=кх+в.

Если функция возрастает с ростом х, то угловой коэффициент положителен (к>0). Если значение функции убывает с ростом х, то угловой коэффициент отрицателен (к<0). Чем больше угловой коэффициент к, тем быстрее изменяется линейная функция.

Предположим, что некоторая фирма производит продукцию, которую продает по цене 100 у. ед. за одну штуку. Ежедневные продажи составили 20, 30, 15, 10, 18 штук Подсчитаем ежедневный доход 2000, 3000, 1500, 1000, 1800. Если дневной объем продаж обозначить через х, а соответствующий доход через у, то связь выразится простой формулой у=100х.

Функции находят широкое применение в экономической теории и экономике. Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных звеньев хозяйственной системы.

Это могут быть отдельные фирмы, предприятия, рынки конкретных видов товаров и услуг и т.п. Одним из важнейших вопросов микроэкономики является изучение взаимодействия спроса и предложения. Спрос на данный товар – это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью потребителя. Предложение можно определить как количество товара, которое может быть предоставлено на рынке для продажи по данной цене. Выпуск дополнительной продукции требует дополнительных затрат. Чтобы заинтересовать к этому производителя, надо предложить ему повышенную цену, т.е. предложение является функцией цены.

S= f (p).

S-(supply) предложение, P-(price) цена.

Записанная функция является сильным упрощением действительности. Чем ближе математическая модель к действительности, тем она сложнее и тем точнее предсказания, которые можно с ее помощью сделать. Экономическая теория подсказывает, что предложение товара растет с ростом цены. Действительно, чем выше цена на товар, тем больше число производителей стремится предложить этот товар на рынке. Следовательно функция предложения является возрастающей функцией:

P = aS + b (a>0)

a и b – параметры определяемые эмпирически.

P

S

В отличие от кривой предложения кривая спроса является убывающей функцией. Если цена на товар растет, то количество проданного товара будет уменьшаться.

P = cD + d (c<0)

P – цена;

D - спрос, a и d параметры

P

0 S

В микроэкономике представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, а соответствующая ей цена – равновесной ценой. Такие названия связаны с тем обстоятельством, что в точке равновесия спрос приходит в соответствие с предложением, т.е. весь произведенный товар находит своего покупателя.

Р₁

Р₀

Q_D Q_o Q_s

Q – количество товара, P – цена.

Если рыночная цена Р₁ больше равновесной цены, Ро, количество товара Qs отвечающее предложению, больше количества товара Q_D, отвечающего спросу, т.е. предложение превышает спрос. Продукция оседает на складах. Это будет побуждать производителей уменьшать цену на продукцию, т.е. рыночная цена Р₁ будет стремится к равновесной цене Ро. Это явление известно как «давление рынка».

Макроэкономика занимается анализом экономической деятельности на национальном (государственном) уровне. Одним из важнейших макроэкономических показателей, характеризующим успехи хозяйственной деятельности, является национальный доход. Его подсчет представляет собой сложную задачу.

Вопросы для самопроверки

1. Функция.

2. Область определения функции

3. Способы задания функции

4. Основные элементарные функции и их графики

Список используемой литературы

1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебное пособие.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006.- 251 с.

2 Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с

3 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.