Математические модели задач принятия решения

Любая математическая модель задачи принятия решения представляет собой формальное описание цели, средств и результатов, а также способа связи средств с результатами. Для формального описания средств и результатов можно задать два множества: множество Х = { x ₁, …, x_n }, элементы которого в дальнейшем будем называть альтернативами, и множество А = { a ₁, …, a_n }, элементы которого будем называть исходами. Альтернативы - это то, что выбирает лицо, принимающее решение (ЛПР), а исходы - то, к чему они приводят.

В задачах принятия решений с конечными множествами X и A существует несколько типов зависимости исходов от альтернатив:

1. Простейший тип связи альтернатив с исходами - каждая альтернатива приводит к единственному исходу. В этом случае имеется функциональная зависимость исходов от альтернатив.

2. Второй тип связи предполагает, что каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, каждый из которых имеет определенную вероятность появления. В этом случае имеет место стохастическая зависимость исходов от альтернатив.

3. Если каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, причем отсутствует даже стохастическая зависимость исходов от альтернатив, то это - третий тип связи альтернатив и исходов.

При этом полученный исход (состояние некоторой конкретной системы) определяется двумя факторами: выбором альтернативы, осуществляемым ЛПР, и состоянием внешней среды. Обозначим множество всех состояний внешней среды через Y = { y ₁ ,..., y_m }. Каждый исход a_ij Î А в силу сказанного есть функция двух аргументов: a_ij = F (x_i, y_j), где x_i (x_i Î Х ) - выбранная альтернатива; y_j (y_j Î Y) - состояние внешней среды.

В первом случае говорят, что принятие решения происходит в условиях определенности, во втором - в условиях риска (стохастических условиях) и в третьем - в условиях неопределенности.

Информированность ЛПР о связи альтернатив с исходами может не совпадать с объективно существующей связью. Например, объективно зависимость исходов от альтернатив носит стохастический характер, но ЛПР не знает вероятностей наступления исходов при выборе каждой конкретной альтернативы, поэтому для ЛПР условия принятия решения надо квалифицировать как условия неопределенности. Таким образом, указанная выше классификация связана с субъектом, принимающим решение.

Наглядно связи между альтернативами и исходами можно представит с помощью функции реализации F (x, y). Эта функция сопоставляет каждой паре альтернатива - состояние среды определяемый ею исход. Если множество альтернатив и множество состояний среды конечны, то удобно представлять функцию реализации F в виде таблицы (табл. 1). Эта таблица для конкретных рассматриваемых задач определяет их все возможные решения, поэтому её часто называют матрицей решений. Эти решения (результаты, исходы) должны допускать количественную оценку, и мы будем для простоты отождествлять эти оценки с соответствующими исходами.

Рассмотрим матрицу решений при различной информированности ЛПР о возможностях появления тех или и иных состояний среды.

1. ЛПР знает состояние внешней среды, тогда значение функции реализации зависит только от альтернативы, выбираемой ЛПР, т.е. получаем задачу принятия решения в условиях определенности. В этом случае таблица вырождается в один столбец, соответствующий состоянию среды на рассматриваемый момент времени.

Таблица 1

F (x, y)	y 1	...	yj	...	ym
x 1	a 11 = F (x 1 ,y 1)	...	a 1 j = F (x 1 ,yj)	....	a 1 m = F (x 1 ,ym)
...	...	...	...	...	...
xi	aim = F(xi,y 1 )	...	aij = F (xi,yj)	...	aim = F (xi,ym)
...	...	...	...	...	...
xn	a 1 m = F(xn,y 1 )	...	anj = F (xn,yj)	...	anm = F (xn,ym)

2. ЛПР знает вероятности появления каждого состояния y_j () внешней среды. В этом случае, если выбрана альтернатива x_i, то для каждого исхода a_k Î А можно найти вероятность p_k его наступления. Для этого нужно отметить в i -й строке табл. 1 все клетки, где стоит исход а_k, и просуммировать вероятности соответствующих столбцов. Таким образом, каждой альтернативе соответствует вероятностная мера на множестве исходов, следовательно, получаем задачу принятия решения в условиях риска.

3. ЛПР не располагает никакой дополнительной информацией о появлениях состояний внешней среды, т.е. он знает только табл. 1, следовательно, при выборе альтернативы x_i он знает лишь о возможности наступления одного из исходов, стоящих в i -й строке таблицы. Получаемый исход определяется двумя факторами: выбором альтернативы, осуществляемым лицом принимающим решение, и состоянием внешней среды. Принятие решения в этом случае осуществляется в условиях неопределенности.