Састыру нәтижелерін бағалау

Жоғарыда аталғандай, ұқсастыру сұлбасының алтыншы сатысында алынған нәтижелер бағалануы тиіс, яғни берілетін деректердің үлестірімі, таңдап алынған теориялық белгілі үлестірімінен айырмашылығы аз болуын тексеру керек. Осындай бағалау жүргізу үшін көбінесе Пирсон, Колмогоров- Смирнов әлде Мизес келісім критерийлері қолданылады. Бұл критерийлердің әр қайсысының ұтымды да, ұтымсыз да жақтары бар. Сондықтан олардың қайсысын қолдану керек деген сұраққа мынадай жалпы сипаттама ғана бере аламыз.

Пирсон критерийін деректер таңдамасының көлемі үлкен болғанда ғана (n>100) қолдануға болады. Таңдаманың көлемі 10<n<100 аралығында жатса жақсы нәтижені Колмогоров- Смирнов критерийі бере алады. Таңдаманың көлемі 10-нан кем болған жағдайда қанағаттандырарлық нәтижелерді тек қана Мизес критерийінің көмегімен алуға болады. Пирсон мен Колмогоров- Смирнов критерийлерін қолданғанда топтау интервалының санын беру қажет.

Пирсон критерийін қолданғанда бұл сан, әрбір интервалға бестен кем емес деректер түсетіндей болуы керек деген шарттан анықталады. Ал, Колмогоров- Смирнов критерийін қолданғанда деректерді топтауға да, әлде әрбір дерекке бөлек интервал тағайындауға да болады.

Іс жүзінде ең көп таралған Пирсон (x²) критерийі екенін ескере отыры, оны кеңірек қарастырайық.

Ұзындығы n кездейсоқ деректер таңдамасы берілсін және осы деректерді кездейсоқ ŋ шамасының x, нақтыламалары деп есептейік. Осы берілген деректердің кездейсоқ заңдылығын ұқсастыру, яғни ŋ кездейсоқ шамасының үлестірім заңын табу қажет болсын.

Жоғарыда келтірілген ұқсастыру сұлбасын алғашшқы сатыларына сәйкес жүргізілген топтаудың нәтижесінде барлық k интервалына түскен деректердің салыстырмалы v_j жиіліктері және таңдап алған теориялық үлестірім заңының осы жиіліктерге пара-пар p_j, ықтималдылықтары белгілі болсын. Енді кездейсоқ ŋ шшамасы берілген деректерді ұқсастыру нәтижесіне алынған үлестірім заңына бағынышты деген жұмыс гепотезасын енгізейік. Осы гепотезаны тексеру үшін деректердің статистикалық түрде алынған үлестірімі мен ұқсастыру арқылы табылған теориялық үлестірімнің айырмашылығының өлшемін таңдайық.

Пирсон критерийін қолданғанда, осындай өлшем ретінде, статистикалық v_j жиіліктерінің p_j, теориялық ықтималдылықтар мәнін ауытқуының орта шаршысының қосындысын алуға болады [27]:

(8.9)

Ауытқудың орта шаршысының мәні p_j- дің жеке мөлшеріне тәуелділігін ескере отырып, C_j, салмақ коэффициенттерін p_j ықтималдылығына кері пропорционалды етіп алуы қажет.

Пирсонның дәлелденуінше бұл коэффициенттердің мәні:

өрнегінен алынса, онда n сынақтарының үлкен мөлшерлері үшін R кездейсоқ шамасының үлестірім заңы мына қасиеттермен сипатталады.

Бұл заң іс жүзінде ŋ кездейсоқ шамасының үлестірім заңынан тәуелсіз, ал сынақтың n санының әсері көп емес. Сондықтан n→∞ ұмтылғанда қарастырылып отырған R өлшемінің үлестірім заңы мына функциясымен анықталады.

x² үлестіріміне жақындайды.

Осы келтірілген жайларды ескере отырып, R өлшеміне мына формуламен бейнелеуге болады.

Немесе екенін ескере отырып, есептеуге ыңғайлырақ формуланы келтірейік:

(8.10)

x² үлестірімі, өзгеше белгілі еркіндік дәрежесінің саны деп аталатын l параметрінен тәуелді. Пирсон критерийін қолданғанда, еркіндік дәрежесінің мөлшерін табу үшін, топтау интервалдарының k мәнінен v_j жиіліктеріне қойылған тәуелсіз шарттардың санын алып тастау керек.

Мұндай шарттарға мысалдар келтірейік:

егер статистикалық орташаның теориялық математикалық үмітпен сәйкестелуі кажет болса, немесе:

егер жиіліктің қосындысы бірге тең болса (бұл теңдік барлық жағдайда орындалуы керек) және т.б.

Пирсон x² критерийінің көмегімен үлестірім заңын ұқсастыру нәтижелерін бағалаудың приципі мына теоремаға негізделген.

8.1-теорема. ŋ кездейсоқ шамасы мен топтаудың таңдалған k саны қандай болмасын әрбір r>0үшін мына шектіктің дұрыстығына күмән тумайды:

Осы теореманың дәлелдеуін [28] кітабынан табуға болады. Егер α, ықтималдылғы а тең болатын оқиғалар мүмкін емес деп есептелетін мәнділіктің деңгейі болса, оңда мына теңдеуді:

(8.11)

шеше отырып, осы мәнділікке сәйкес мәнін табамыз. Сонда шарты орындалған жағдайда, ŋкездейсоқ шамасының үлестірім заңын үқсастыру нәтижесін қабылдаймыз, ал егер

(8.12)

болса, бұл нәтижені қабылдамаймыз.

Ұқсастыру нәтижесін қабылдау әлде қабылдамау а- ның мәніне тәуелді екені көрініп тұр. а -ның мәні ретінде көбінесе мына сандар алынады:

0,1; 0,05; 0,01; 0.005.

Іс жүзінде, r өлшемін анықтау үшін, а мен і-дың мүмкін болатын біраз дискреттік мәндеріне сәйкес (8.1) интегралдық теңдеудің шешімдері келтірілген кесте қолданылады. Бүл кестені ықтималдықтар теориясы мен статистика оқулықтарының кез- келгенінер табуға болады.

Үқсастыру нәтижелерін бағалау сұлбасын мына түрдегі алгоритм ретінде көрсетуте болады:

1-қадам. р_i – ықтималдылықтарын есептеу, i=0,1,….,k

2-қадам. R өлшемін есептеу.

3-қадам. Мәнділік деңгейінің шамасын таңдау:

α_m=max(α₁, α₂,….,α_L).

4-қадам. α_m > 0 шартын тексеру. Бул шарт орындалмаса 9-шы

қадамға көшу.

5-қадам. -ны кестеден анықтау, яғни

6-қадам. шартын тексеру. Бүл шарт орындалмаса 8-ші

қадамға көшу.

7-қадам. α_m =о болсын. 3- ші қадамға оралу.

8-қадам. « α_m үшін таңдалған үлестіру заңы қабылданады» деген мәтінді шығару.

9-қадам. «Таңдалынган үлестіру заңы қабылданбайды» деген мәтінді щығару.

10- қадам. Соңы.