Простейшие свойства проективной плоскости

Эти свойства мы сформулируем в виде теорем, некоторые из которых докажем.

Теорема 1. Через любые две различные точки и проективной плоскости Ф ₂ проходит единственная прямая.

Доказательство:

Так как точки и – различны, то согласно аксиоме 4 из §2 порождающие их векторы и определяют одно и только одно векторное пространство (точнее, его ненулевые векторы) порождает некоторое проективное пространство Ф ₁, которое и является искомой проективной прямой , проходящей через точки и проективной плоскости Ф ₂.

Покажем теперь, что прямая – единственная прямая, проходящая через точки и .

Действительно, пусть – произвольная прямая, проходящая через точки и , а – двумерное векторное пространство, порождающее эту прямую . Так как и , то и . Поэтому – пространство, определяемое векторами и . Таким образом, и, следовательно, , то есть прямые, совпадают.

Теорема доказана.

Эта теорема принимает на моделях проективной геометрии следующий вид:

. Связка прямых.

«Через любые две различные прямые связки с центром проходит единственная плоскость».

. Расширенная евклидова плоскость.

Случай 1. и – собственные точки.

Тогда – собственная прямая.

Случай 2. – собственная точка, – несобственная точка.

Тогда точка задаётся с помощью проходящей через неё прямой , параллельной прямой , причём таких прямых бесконечно много. Прямая – собственная.

Теорема читается так: «Через данную точку проходит единственная прямая , параллельная данной прямой ».

Замечание. Прямая проходит через точку , но не проходит через точку .

Случай 3. Точки и – обе несобственные, то есть .

В этом случае – также несобственная прямая.

Теорема 2. Любые две различные прямые одной проективной плоскости Ф ₂ пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть и – две различные прямые, лежащие в проективной плоскости Ф ₂, а и – векторное пространство, порождающее соответственно прямые и плоскость Ф ₂.

Так как Ф ₂ и Ф ₂, то и ( являются подпространством пространства ). Так как – различные подпространства (двумерные) трёхмерного пространства , то согласно известной из курса алгебры теореме их пересечением является одномерное векторное подпространство .

Ненулевые векторы этого подпространства порождают точку, которая и является общей точкой прямых и .

Эти две прямые не могут иметь более чем одну общую точку, так как согласно теореме 1 через две различные точки проходит только одна прямая.

Теорема доказана.

Эта теорема принимает на моделях проективной плоскости следующий вид.

. Связка прямых.

«Две различные плоскости связки с центром пересекаются по единственной прямой».

. Расширенная евклидова плоскость.

Случай 1. и – собственные непараллельные прямые.

– собственная точка.

Случай 2. и – собственные параллельные прямые.

– несобственная точка.

Случай 3. – собственная прямая, – несобственная прямая.

– несобственная точка, ей дополнена прямая ; все несобственные точки лежат на одной несобственной прямой.