Однородные аффинные координаты на прямой

Определение. Проективная система координат на расширенной евклидовой прямой называется системой однородных координат, если одна из базисных точек ( или ) несобственная. Обычно полагают .

Замечание. Обычная система координат (афинных) на нерасширенной прямой p называется неоднородной. Она определяется двумя точками – началом координат и точкой , координата которой равна единице.

Если , то и , где – действительное число.

Таким образом, любая собственная точка нерасширенной прямой имеет определённую координату . В частности, точка (начало координат) имеет нулевую координату. Координата несобственной точки неопределенна.

Преимущество однородной системы аффинных координат перед неоднородной состоит в том, что в однородной системе несобственная точка имеет определённые координаты. Как следует из примера 2 из §6 эти координаты равны , так как точка порождается вектором = .

Координаты собственных точек расширенной евклидовой прямой определяются следующеё теоремой.

Теорема. Пусть на расширенной евклидовой прямой заданы:

1. Неоднородная аффинная система координат .

2. Однородная аффинная система координат , где – несобственная точка, ( совпадает с 0), .

3. Произвольная собственная точка , имеющая в системе координат координату , а в системе координат – координаты ).

Тогда: .

Доказательство:

Точки , и порождаются соответственно векторами и . Так как согласно замечанию , то имеем: .

Отсюда или окончательно так как точка – собственная.

Теорема доказана.

Замечание. Несобственная точка имеет координаты , то есть .