Проективная прямая

Определение 1. Одномерное проективное пространство Ф ₁ называется проективной прямой.

В этом случае n=1, Ф _n = Ф ₁, , то есть проективная прямая порождается двумерным векторным пространством (точнее его ненулевыми векторами).

Рассмотрим две модели проективной прямой.

Первая модель. Пучок прямых с центром на плоскости .

Точки проективной прямой Ф ₁ изображаются прямыми пучка с центром .

Векторы, порождающие эти точки, изображаются направляющими векторами этих прямых .

Вторая модель. Расширенная (пополненная) евклидова прямая .

Точки проективной прямой Ф ₁ – точки расширенной евклидовой прямой , как собственные, так и несобственная . Векторы, порождающие эти точки, по-прежнему есть направляющие векторы прямых пучка с центром .

Выясним некоторые свойства проективной прямой с помощью её моделей.

. Проективная прямая является линией замкнутой.

Если прямую пучка с центром повернуть вокруг точки на (в любом направлении), то она опишет весь пучок и вернётся в прежнее положение. При этом соответствующая ей точка будет перемещаться по расширенной прямой и вернётся в прежнее положение с противоположной стороны. Когда же прямая займёт положение прямой , точка совпадёт с несобственной точкой .

. Две различные точки и разбивают проективную прямую на две части.

Точкам и согласно аксиоме 4 в пучке прямых с центром соответствуют две различные прямые и . Эти прямые образуют две пары вертикальных углов.

Остальные прямые пучка делятся на два множества: прямые, проходящие внутри одной пары этих углов и прямые, проходящие внутри другой пары вертикальных углов.

Соответственно этому точки и делят прямую (модель проективной прямой Ф ₁) на две части: часть I – обычный отрезок с исключёнными концами и ; часть II – объединение двух лучей с началами в точках и и точки .

Определение 2. Два множества точек (I и II), на которые разбивается проективная прямая Ф ₁ двумя различными точками и , ей принадлежащими, называются отрезками. Точки и называются концами этих отрезков.

Если точки и принадлежат различным отрезкам, то говорят, что пара точек разделяет пару точек (или наоборот пара точек разделяет пару точек ).

Обозначение. .

Замечание. Вследствие замкнутости проективной прямой для её точек теряет смысл отношение «лежать между», имеющее место для евклидовой прямой.

Вместо него взаимное расположение точек характеризуется отношением разделённости (или неразделённости) пар точек.

.

Напротив, пара точек не разделяется парой точек : .