Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим не параллельную оси Oy прямую с уравнением:

где b ≠ 0.

Преобразуем это уравнение:

Обозначим: тогда получим:

. (3)

Определение 3. Уравнение (3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k называется угловым коэффициентом, число b₀ – “начальной ординатой” данной прямой.

Теорема. 1) Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла φ между положительным направлением оси Ox и этой прямой; 2) “Начальная ордината” прямой есть ордината точки пересечения этой прямой с осью Oy.

Доказательство.

1) Пусть M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) – две точки данной прямой с уравнением (3), тогда:

где

Рассмотрим ∆M₁M₂N. Так как M₁N || Ox, то имеем:

Итак, .

2) Найдем ординату точки пересечения данной прямой с осью Oy:

.

Следствие. Прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через данную точку M₀(x₀;y₀), задается уравнением:

. (4)

Доказательство.

Точка M₀ лежит на данной прямой, тогда имеем:

(5)

Вычитая почленно из уравнения (3) уравнение (5), получим уравнение (4).

Замечание. Если прямая параллельна оси Oy, то и В этом случае прямая задается уравнением , так как уравнения (3) и (4) теряют смысл.