Общее уравнение прямой

Теорема 1. 1) Всякое уравнение первой степени вида

ax + by + c = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, является уравнением прямой с нормальным вектором (a;b);

2) Обратно, уравнение любой прямой может быть записано в виде (1).

Доказательство.

1) Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений – пар чисел вида (x;y). Пусть (x₀;y₀) – одно из решений. Тогда:

ax₀ + by₀ + c = 0. (2)

Вычтем (2) из (1):

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0. (3)

По теореме 1 из §7 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀;y₀) и имеющую нормальный вектор (a;b).

2) Пусть дана некоторая прямая и M₀(x₀;y₀) – некоторая точка этой прямой, а (a;b) – нормальный вектор этой прямой. Согласно теореме 1 из §7 она имеет уравнение:

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0.

Иначе:

ax + by - (ax₀ - by₀) = 0 или

ax + by + c = 0, где c = -ax₀ - by₀.

Теорема доказана.